Построения одним циркулем. Во многих случаях построения, проводимые циркулем, оказываются точнее, чем построения, проводимые линейкой

1. Построения одним циркулем. Во многих случаях построения, проводимые циркулем, оказываются точнее, чем построения, проводимые линейкой.

Итальянский учений Л. Маскерони (1750-1800) и датский ученый Г.Мор (1640-1697) исследовали конструктивные возможности циркуля и доказали следующую теорему.

Теорема (Мора-Маскерони). Любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой может быть решена при наличии только циркуля.

Пояснения: 1) имеется в виду, что фигура состоит из конечного числа точек, окружностей, отрезков, лучей прямых; 2) циркулем конечно, нельзя построить прямую, отрезок, луч, здесь имеется в виду, что циркулем можно сделать их известными (прямая известна, если известны две ее точки; отрезок известен, если известны два его конца; луч известен, если известна начальная точка и точка, через которую проходит луч).

Доказательство опускаем.

2. Построения одной линейкой.

Построения одной линейкой исключительно ограничены. Например, отрезок нельзя разделить пополам. Но если на плоскости задана окружность, возможности увеличиваются.

Справедлива теорема. Всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена окружность и отмечен ее центр (т.е. воли воспользоваться циркулем один раз). Это теорема Штейнера, иногда называют ее теоремой Понселе-Штейнера.

3. Построения двусторонней линейкой

Пример. Разделить данный угол пополам.

Проводим параллели, ОС - биссектриса

Оказывается, справедлива теорема

Всякая геометрическая фигура, состоящая из конечного числа точек, которая может быть построена циркулем и линейкой, может быть построена только двусторонней линейкой.

4. Построения с помощью прямого угла.

Пример. Построить центр начерченной окружности. Всякая геометрическая фигура, состоящая из конечного числа точек, которая может быть построена циркулем и линейкой, может быть построена только прямым углом. Это же верно для любого угла.

Пример 2. Дан ΔАВС; требуется построить три окружности так, чтобы каждая из них касалась двух других окружностей и двух сторон треугольника (задача Мальфатти). Считаем задачу решенной (фиг. 1). Пусть точка О будет центром вписанной в треугольник окружности (радиуса r). Радиусы кругов К и L обозначим соответственно через r₁ и r₂. Из точек К, О, L опустим перпендикуляры на сторону АВ и таким путем построим точки D, Е, F. Положим AE = s, BE = t, AD = x, BF = y.

Фиг. 2

Если мы проведем KG || AB, то

LG = r₂ – r₁ и KG =

Из подобия 7) треугольников ADK и AEO следует, что

аналогично этому и , что вытекает из подобия треугольников BFL и ВЕО.

AB = AD + DF + FB,

следовательно:

=

или (подставляя вместо r₁ и r₂ полученные для них выражения)

= (1)

Если опустим из точек L, М,О перпендикуляры на сторону ВС и положим РС = и и QC = z, то получится равенство

2) = t + u;

аналогично мы получим равенство и для третьей стороны :

3) = u + s.

Таким образом, мы имеем три уравнения для определения трех неизвестных х, у, z.

Мальфатти сообщает решения этих трех уравнений,:

Если подставить эти значения в вышеприведенные уравнения, то они удовлетворят последним. Путь, которым Мальфатти нашел решения, чрезвычайно сложен, как он сам указывает.

Геометрическое же построение величин х, у, z представляется чрезвычайно простым, ибо

вследствие чего отрезки эти, равно как и отрезки s, t, r, u, r, легко могут быть построены.

Если же теперь построить выражение

x = ОА — m, у = ОБ — m,

z = OC - m (фиг. 2).

Пример 3. Даны три окружности K₁, K₂, К₃, коих центры лежат на одной прямой; радиус каждой из окружностей К₁, К₂ равен r₂. Последние две окружности имеют одно и то же центральное расстояние а от окружности К₁{r₁). Требуется построить все окружности, которые касаются трех данных (фиг. 3).

Фиг.3.

Для того, чтобы решить эту задачу вычислением, мы кладем в основание прямоугольную систему координат. При этом уравнения данных окружностей таковы:

К₁ … х²+у² = ,

K₂ … (x - a)² + y² =

K₃ … (x + a)² + y² =

Уравнение же каждой из искомых окружностей имеет вид:

(x - p_i)² + (y - q_i)² = ρ_i².

Для круга О₁ (фиг. 3) легко могут быть получены три уравнения, определяющие три неизвестные велиeчины p₁, q₁, ρ₁; именно, из условий

вытекают равенства

Из двух последних следует, что p₁ = 0, а отсюда уже непосредственно вытекает:

(1)

ибо радиус круга О₂ равен радиусу ρ₁ круга О₁ (фиг. 3).

Окружность О₃ касается окружностей К₂ и К₃ извне, а окружности К₁ — изнутри; таким образом, имеют место равенства

Отсюда получается

(2)

Для окружности О₅ имеют место равенства

откуда получается:

Построение может быть выполнено по следующему плану. Строим по порядку (фиг. 3):

AB = r2, BC = a,

тогда

если затем построить

Аналогично построим