Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба

5.  Найдем промежутки выпуклости графика функции, ее точки перегиба.

Найдем вторую производную функции:

 при  - точка перегиба

Для

 ,

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вверх.

Для

 ,

следовательно, график функции на этом интервале выпуклый вниз.

6.  По полученным данным построим график функции.

Рис. 3 График функции

Задание № 4

 

Найти интеграл:

3.

Решение

Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:

Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.

Замена переменной в неопределенном интеграле производится с помощью подстановки:

Ответ: .

Задание № 5

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями, используя определенный интеграл. Сделать чертеж.

, , , .

Решение.

Построим график функции:

при х=-2: y = 12

при х=-1: y = 5

при х=0: y = 0

при х=1: y = -3

при х=2: y = -4

при х=3: y = -3

при х=4: y = 0

при х=5: y = 5

Рис. 1 График

Найдем точки пересечения графика функции с осью Оx:

 

Определим площадь полученной фигуры через определенный интеграл:

 кв. ед.

Ответ: площадь фигуры, ограниченной заданными линиями = 13 кв. ед.

Задание № 7.

Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения, решить задачу Коши для заданных начальных условий:

,  при

Решение

Общий вид дифференциального уравнения:

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция  от переменной x и произвольной постоянной C, обращающая уравнение в тождество. Общее решение, записанное в неявном виде , называется общим интегралом.

Решение, полученное из общего при фиксированном значении С: , где  - фиксированное число, полученное при заданных начальных условиях , называется частным решением, или решением задач Коши.

Найдем общее решение или общий интеграл:

 -

общее решение дифференциального уравнения

Найдем частное решение для  при

Получаем:

Ответ:  - любое число.

 

Задание № 8

Найти вероятность случайного события.

Условие: Брошена игральная кость. Какова вероятность того, что выпадет нечетное число очков? Что выпадет шестерка»?

Решение.

Вероятностью события А называется математическая оценка возможности появления этого события в результате опыта. Вероятность события А равна отношению числа, благоприятствующих событию А исходов опыта к общему числу попарно несовместных исходов опыта, образующих полную группу событий.

..................................................................................................................

Исход опыта является благоприятствующим событию А, если появление в результате опыта этого исхода влечет за собой появление события А.

Обозначим в данной задаче выпадение нечетного числа – событие А, выпадение «шестерки» – событие В. На игральной кости шесть граней, очевидно, что на трех из них число нечетное, на одной – «шестерка».

Тогда в соответствии с записанными выше формулами получаем:

 .

Ответ: 1. вероятность выпадения нечетного числа равна ;

2. вероятность выпадения «шестерки» равна .

 

Методы вычислений и ЭВМ

 

Задача № 4.

Внедрение автоматизированного способа обработки информации снизило расходы на ее обработку с 238200 руб. до 50175 руб. Определите, на сколько процентов снизились расходы на обработку информации. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

Схема решения	Алгоритм	Результат
238200 – 100 % 50175 – х %		21,064 %

Задача № 5

Расходы на перевозку почты во II квартале уменьшились на 2,5 % по сравнению с I кварталом; в III квартале увеличились на 2,9 % по сравнению со II кварталом; IV квартале они вновь увеличились на 3,1 % по сравнению с III кварталом. Определите с точностью до 0,1 %, как изменились расходы в IV квартале по сравнению с I кварталом. Запишите рациональный алгоритм вычислений на МК.

Решение:

По условию задачи задано последовательное изменение начального показателя N=100 процентов на

Р1=2,5 %, Р2=2,9 %, Р3= 3,1 %.

Тогда:

Nn = 100(1-2,5/100)(1+2,9/100)(1+3,1/100) = 100(1-0,025)(1+0,029)(1+0,031) = 100*0,975*1,029*1,031 = 103,4 %

Алгоритм выполнения этого вычисления на МК:

100 – 2,5 % + 2,9 % + 3,1 %

Задача № 6

Бригаде монтажников за месяц начислено 16713 руб. Распределите заработную плату между членами бригады пропорционально следующим данным. Приведите рациональный алгоритм вычислений на МК, а также решение задачи с помощью табличного процессора (Excel, Super Calc и др.). Точность 0,01 руб.

Табельный номер	Часовая тарифная ставка, руб	Отработано часов	К оплате, руб
03	6,6	165
04	8,8	72
05	7,5	216

Алгоритм решения на МК:

6,6 * 165 М+

8,8 * 72 М+

7,5 * 216 М+

_{16713 /MR MR} * 1089 = М+

 ^{C C} 633,6 = М+

 1620 = М+ _MR

 ^C

Решение задачи с помощью табличного процессора Excel:

1.  Ввод названий граф документа:

Адрес клетки	Вводимая строка
А1	Табельный номер
А2	03
А3	04
А4	05
В1	Начислено, руб. (всего)
С1	Часовая тарифная ставка, руб.
D1	Отработано часов
Е1	К оплате, руб.

2.  Ввод исходных данных:

Адрес ячейки	Исходные данные
В2	16713
С2	6,6
С3	8,8
С4	7,5
D2	165
D3	72
D4	216

3.  Ввод расчетных формул:

Адрес ячейки	Исходные данные
F2	С2*D2
F5	=СУММ(F2:F4)
E2	$B$2/$F$5*F2
E5	=СУММ(Е2:Е4)

4.  Конечный результат:

Табельный номер	Начислено, руб. (всего)	Часовая тарифная ставка, руб.	Отработано часов, ч.	К оплате, руб.	Ставка, руб.
03	16713	6,6	165	5445,00	1089,00
04		8,8	72	3168,00	633,60
05		7,5	216	8100,00	1620,00
				16713,00	3342,60

Список литературы

 

1.  Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: АСТ, 2005. – 991 с.

2.  Гусак А.А., Гусак Г.М., Бричкова Е.А. Справочник по высшей математике. – Минск. ТетраСистемс, 2004. – 640 с.

3.  Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998. – 479 с.

4.  Миносцев В.Б. Курс высшей математики. Часть 2. М. 2005. – 517 с.

5.  Пономарев К.К. Курс высшей математики. Ч. 2. – М.: Инфра-С, 1974. – 520 с.