Функция многих переменных

Функция многих переменных. Предел и непрерывность функции многих переменных. Частные производные.

План.

1. Определение функции многих переменных.

2. Предел функции многих переменных. Непрерывность функции многих переменных.

3. Частные производные.

1.  Обозначим через D некоторое множество точек в п-мерном пространстве.

Если задан закон f , в силу которого каждой точке М(х;...;х) D ставится в соответствие число и, то говорят, что на множестве D определена функция и= f(х;...;х).

Множество точек М(х;...;х), для которых функция и= f(х;...;х) определена, называют областью определения этой функции и обозначают D(f).

Функции многих переменных можно обозначать одним символом и=f(М), указывая размерность пространства, которому принадлежит точка М.

Функции двух переменных можно изобразить графически в виде некоторой поверхности.

Графиком функции двух переменных z=f(х;у) в прямоугольной системе координат Оху называется геометрическое место точек в трехмерном пространстве, координаты которых (х;у;z) удовлетворяют уравнению z=f(х;у).

2.  Обозначим через (М;М) расстояние между точками М и М. Если п=2, М(х;у), М(х;у), то

(М;М)=.

В п-мерном пространстве

(М;М)=.

Пусть на множестве D задано функцию и=f(М).

Число А называется пределом функции и=f(М) в точке М, если для произвольного числа >0 найдётся такое число >0, что для всех точек М D, которые удовлетворяют условию 0<(М;М)<, выполняется неравенство

.

Свойства пределов функций одной переменной сохраняются и для функций многих переменных, то есть если функции f(М) и g(М) имеют в точке М конечные пределы, то

1. = с,

 2. =,

3. =.

 4. если .

Заметим, что если предел  существует, то он не должен зависеть от пути, по которому точка М стремится к точке М.

Функция и=f(М) называется непрерывной в точке М, если

= f(М).

Функция и=f(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке МD.

Точки, в которых непрерывность функции нарушается, называются точками разрыва функция. Точки разрыва могут быть изолированными, создавать линии разрыва, поверхности разрыва и т. д. Например, функция z= имеет разрыв в точке (0;0), а функция z= имеет разрыв на параболе  

3. Множество точек М, которые удовлетворяют неравенству (М;М)<, называют -окрестностью точки М.

Пусть функция двух переменных z=f(x;у) (для большего количества переменных всё аналогично) определена в некоторой окрестности точки М(x;у). Дадим переменной х приращение так, чтобы точка (х+;у) принадлежала этой окрестности. При этом функция z=f(x;у) изменится на величину

,

которая называется частичным приращением функции z=f(x;у) по переменной х.

Аналогично величину

называют частичным приращением функции по переменной у.

Если существует предел

,

то его называют частной производной функции z=f(x;у) в точке М(x;у) по переменной х и обозначают такими символами:

,,,.

Аналогично

= .

Из таких определений следует, что правила вычисления производных, совпадают с правилами дифференцирования функций одной переменной. Следует только помнить, что при вычислении частной производной по одной переменной остальные переменные считаются постоянными.

Частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей.

Частные производные от частных производных ,  функции z=f(x;у) называются частными производными второго порядка. Функция двух переменных может иметь четыре частные производные второго порядка, которые обозначают так:

, ,

, .

Производные  и  называются смешанными. Можно доказать, что если они непрерывны, то равны между собой.

Частные производные от частных производных второго порядка называются частными производными третьего порядка и т. д.

Лекция 11. Тема – Дифференцируемость функции. Производная в направлении. Градиент. Локальные экстремумы.

План.

1. Дифференцируемость функции. Полный дифференциал. Дифференциалы высших порядков.

2. Производная в направлении. Градиент и его свойства.

3. Локальные экстремумы функции высших порядков.

1. Пусть функция z=f(x;у) непрерывна в некоторой окрестности точки М(x;у) вместе со своими частными производными (х;у),(х;у). Выберем приращение и так, чтобы точка (х+;у+) принадлежала рассматриваемой окрестности.

Если полное приращение функции z=f(x;у) в точке М(x;у)

= f(x+;у+)- f(x;у)

можно записать в виде

=(х;у)+ (х;у)+,

где - бесконечно малые функции при , , то функция z=f(x;у) называется дифференцированной в точке М(x;у), а линейная относительно и  часть её полного приращения  называется полным дифференциалом функции и обозначается

dz=+.

Дифференциалами независимых переменных называют приращения этих переменных dх=, dу=. Поэтому

dz= dх + dу,

или в других обозначениях

dz= dх + dу.

Для функции трёх переменных и= f(x;у; z)

dи= dх + dу+ dz.

Полный дифференциал функции z=f(x;у)

dz= dх + dу,

который ещё называют дифференциалом первого порядка, зависит от независимых переменных х, у и от их дифференциалов dх, dу. Заметим, что дифференциалы dх, dу не зависят от х, у.

Дифференциалы второго порядка определяют по формуле

d² z= d(dz).

Тогда

d² z= d(dх+ dу)= (dх+ dу) dх+(dх+ dу) dу=dх²+ dу dх+

+ dх dу+dу²,

откуда

d² z=dх²+2 dх dу+dу².

Символически это можно записать так:

d² z=(dх+ dу)² z.

Аналогично можно получить формулу для полного дифференциала п-го порядка:

d^п z= d(d^п-1 z) =(dх+ dу)^п z.

2. Производная функции z=f(x;у) в направлении вектора  вычисляется по формуле

+,

где , - направляющие косинусы вектора :

= , = .

Если частные производные характеризуют скорость изменения функции в направлении соответствующих координатных осей, то производная в направлении вектора определяет скорость изменения функции в направлении вектора .

Градиентом функции z=f(x;у) называется вектор

grad z=(,).

Свойства градиента

1. Производная  имеет наибольшее значение, если направление вектора  совпадает с направлением градиента, причём это наибольшее значение производной равно .

Похожие работы

Экстремумы функций многих переменных

Скачать

14269

0

4

... (x, y) выполняется неравенство: . При этом, т. е. приращение функции > 0. Определение 3: Точки локальных минимума и максимума называются точками экстремума. Условные Экстремумы При отыскании экстремумов функции многих переменных часто возникают задачи, связанные с так называемым условным экстремумом. Это понятие можно разъяснить на примере функции двух переменных. Пусть заданы функция ...

Поиск максимума одной функции многих переменных методом покоординатного спуска и с помощью метода дихотомии

Скачать

19131

0

6

... p и q, получим некоторые наборы (в зависимости от p и q) на которых функция достигает максимума. 3. Решение задачи с использованием метода покоординатного спуска   3.1 Описание метода покоординатного спуска Изложим этот метод на примере функции трех переменных . Выберем нулевое приближение . Фиксируем значения двух координат . Тогда функция будет зависеть только от одной переменной ; ...

Методы оптимизации функций многих переменных

Скачать

34366

0

16

... , Флетчера-Ривса). Методы второго порядка, использующие, кроме того, и информацию о вторых производных функции f (x) (метод Ньютона и его модификации). Метод конфигураций (Хука - Дживса) Следует выделить два этапа метода конфигураций: 1) исследование с циклическим изменением переменных и 2) ускорение поиска по образцам. Исследующий поиск начинается в точке х0, называемой старым базисом. ...

Минимум функции многих переменных

Скачать

28673

2

2

... , что и ошибки эксперимента, то итерации надо прекращать. Поскольку вблизи минимума чаще всего ~, то небольшая погрешность функции приводит к появлению довольно большой области неопределенности ~. 2. Минимум функции многих переменных   2.1 Рельеф функции Основные трудности многомерного случая удобно рассмотреть на примере функции двух переменных . Она описывает некоторую поверхность в ...