Методичні засади статистичного моделювання

2. Методичні засади статистичного моделювання

Розглянемо спосіб вимірювання впливу декількох найважливіших показників використання вантажного вагона на його узагальнюючий (інтегральний) показник — середньодобову продуктивність F_w (експлуатаційні ткм нетто за добу). У модель включаються чинники впливу, які не мають функціональної залежності з результативним показником (середньодобова продуктивність), а лише мають імовірнісний (стохастичний) зв'язок між значеннями результативної і факторних ознак. У цьому випадку для моделювання застосовуються прийоми кореляційно-регресійного аналізу.

Перелічені вимоги до вибору факторів унеможливлюють введення в статистичну модель середньодобової продуктивності вантажного вагона (F_w) таких важливих якісних показників використання вагонів, як середньодобовий пробіг вагона (S_w), частка навантаженого пробігу в загальному пробігу (α_w), бо їх добуток з динамічним навантаженням вагона робочого парку (q_rb) дає величину результативного показника:

 

F_w=q_rh•S_w•a_w. (1)

Тобто зазначені три показники мають функціональну залежність з результативним показником. Більш того, а_ш— первинний чинник прямого впливу на результат використання вагона як за потужністю, так і за часом. Із цих же міркувань у даній моделі неможливо використати і показник статичного навантаження вагона та співвідношення середньої відстані перевезення вантажів і навантаженого рейсу вагона, бо вплив кожного з них уже присутній у фактичних величинах F_w, за якими розраховується рівняння регресії (8).

Оскільки розглянуті чинники знаходяться в прямому функціональному зв'язку з середньодобовою продуктивністю вантажного вагона, то їх кількісний вплив на зміну в часі результативного показника слід визначати через систему співзалежних індексів:

 

I _Fw=I _qrh•I_Sw•I_aw  (2)

У моделі кореляційно-регресійного аналізу характеристикою зв'язку є теоретична лінія регресії, що описується рівнянням регресії y=f(x).

Рівняння регресії відображає закон зв'язку між х і у не для окремих елементів сукупності, а для всієї сукупності в цілому. Однофакторна статистична модель (лінійне рівняння регресії) має вигляд:

 

Y = a + bX. (3)

У рівнянні регресії коефіцієнт b — величина іменована, має розмірність результативної ознаки Y. Розглядається як коефіцієнт пропорційності при X, він визначає ефект впливу X на Y, тобто вказує на скільки одиниць, в середньому, зміниться К зі зміною X на одиницю. У випадку прямого зв'язку b — величина додатна, а при зворотному — від'ємна. Параметр а₀ — вільний член рівняння регресії, це значення У при Х=0, у деякій мірі характеризує вплив на У факторів, які відсутні в моделі (8).

Коли в модель включається декілька факторних чинників, маємо рівняння множинної регресії типу у=f(х₁,х₂,...х_n), яким визначається спільний вплив цих чинників на зміну в середньому результативної ознаки. _

Розрахунку рівняння множинної регресії передує обчислення величини парних коефіцієнтів кореляції між Y та Х(r_ух) та між самими факторами (Z_xv, Z_X1/Z). Це дозволяє визначити не тільки щільність зв'язку, але й оцінити роль кожного фактора. Фактори, які мають незначний коефіцієнт кореляції з Y, не бажано включати в множинну регресійну модель. їх вплив буде несуттєвим.

Модель необхідно розраховувати за достатньо великою сукупністю спостережень (п≥40), відібраних випадковим способом.

Щільність зв'язку між результативною ознакою У і чинниками впливу (X,Z тощо) вимірюється множинним коефіцієнтом детермінації R² і індексом кореляції R, а істотність зв'язку — розрахунковим числом Фішера Ф_R, яке повинне перевищувати табличне (критичне) значення Ф_таб.

Таблиця 2. Вихідна інформація для розрахунку статистичної моделі F„

		Y		X <	V		7.		I/Z				Y			X <)			V	Z		1/7.
А		1		2	3		4		5		А		1			2			3	4		5
1		2472,0		62.88	31.7		42,14		0,0237		26		4735.0			58,17			39,7	52,29		0,0191
2		2327,0		63,02	31,0		46,58		0.0215		27		6576,0			58,69			40,3	43.36		0,0231
3		2657,0		62.96	31,6		42.80		0,0234		28		7319,0			58,83			41,9	41,00		0,0244
4		3163,0		63,37	32,9		14.12		0,291		29		8184,0			59,09			45.6	36,90		0,0271
5		3349,0		63,79	33,4		32,63		0,0306		30		8986,0			58,56			43,4	32,17		0,0311
6		3578.0		63.11	33.4		29.50		0,0339		31		9970.0			58,29			43,7	27,48		0,0364
7		3761,0		62,77	33,6		27,60		0.0362		32		10419,0			58,26			43,5	23,95		0.0418
8		4011,0		63,21	- 31,7		23.58		0.044		33		3317,0			60,56			31,0	66,65		0,0150
9		3520,0		62,59	31,2		54,74		0,181		34		3658,0			60,63			31,7	56,22		0,0178
10		3786,0		62.75	31.2		52,16		0.019		35		5097,0			59,94			31.5	44.70		0,0224
11		4279,0		62.43	31,4		45,82		0 021		36		6388.0			60.22			33,6	36,05		0,0277
12		4665.0		62,63	32,3		42,08		0,0238		37		6424,0			61,18			33,2	32.21		0,0310
13		5101,0		63.40	33.4		39,16		0,0255		38		7264,0			60,44			34,1	28,11		0.0356
14		5440.0		62,60	32,8		37,12		0.0269		39		7536,0			58,66			34,6	27,23		0,0367
15		6209.0		62.44	34.2		31,81		0,0314		40		8323,0			60,48			35,2	23.75		0,0421
16		6914.0		63,38	34.0		24,89		0,0102		41		2802,0			58,55			28,5	38,44		0,0260
17		2550.0		59,58	32,0		44,69		0,0224		42		2696,0			59,90			26.9	41,74		0,0240
18		2783,0		60.45	33,3		43.22		0,0231		43		5720.0			60,33			27,6	30,77		0,0325
19		4072.0		60,07	34,3		37,53		0,02м		44		4614,0			59.75			29,4	24.63		0,0406
20	5800,0		ці,			34,9		27,90		Oji-^s		45		5292,0			5Х 98	21,25 30,4			0,047 1
21		6326.0		61.14	34,9		26,77		0.0374		46				6110.0	58,81			31,1	20,17		0,0496
22		7296,0		60.72	35,2		25,11		0.0398		47				6792.0	58,43			31,9	18,19		0,0550
23				60.74	35,2		22,81		0,0438		48				7224.0	58,38			32.5	15 58		0,0642
24		8395,0		62,14	34,9		19,36		0,0517		∑				25886	2914,9			163.3,	1691,		1,517.
25		5071.0		57.64	39,9		54,67		0,0183		средня				5393.0	60,728			34,035	35,24		0,0316

 

Y— середньодобова продуктивність вагона, експл. ткм нетто;

X(q_rg)— динамічне навантаження навантаженого вагона, т/ваг;

V— середня дільнична швидкість, км/год;

Z простій вагона під однією вантажною операцією, год;

1/Z — обернена величина Z, в модель закладено гіперболічну

залежність від Y.

В таблиці 3 (допоміжних розрахунків) наведено відповідно:

— квадрати вихідних показників (гр. гр. 1-4);

— добутки Yокремо з кожним факторним показником (гр. гр. 5-7);

— добутки факторних показників між собою попарно (гр. гр. 8-10).

3. Побудова статистичної моделі середньодобової продуктивності вантажного вагона (F_W)

Для виявлення кількісного впливу факторних чинників на узагальнюючий (інтегральний) показник використання вантажних вагонів F_w, як відмічено вище, проведено статистичне моделювання (кореляцій-но-регресійний аналіз). Попереднє дослідження статистичних звітних матеріалів усіх залізниць України (вибірка — 48 спостережень, див. таблицю вихідної інформації (табл. 2) довело, що саме ці чинники мають тісний імовірнісний зв'язок з результативною ознакою (Y).

Так, парні коефіцієнти кореляції — r (міра щільності зв'язку) між результативною ознакою Y і факторним чинником Vr_w, між Y та 1/Z— r_гш= 0,541, між Y і X— від'ємне значення r_YX= —0,449 (Y і X функціонально пов'язані). Це досить щільний зв'язок, що свідчить про суттєвий вплив відібраних до складу моделі факторів на середньодобову продуктивність вантажних вагонів.

У той же час, між самими факторами V і 1/Z спостерігається незначний рівень тісноти зв'язку (Z=0,0129), тобто вони не дублюють один одного і не викривлюють величину впливу факторів на результативний показник.

У досліджуваній статистичній моделі середньодобової продуктивності вантажного вагона F_w трьохфакторне рівняння регресії має такий загальний вигляд:

 

Y= a₀+a₁X+a₂(1/z)+a₃V. (4)

Числові значення параметрів цієї моделі (а₀, а₁ а₂, а₃) визначаються методом найменших квадратів за допомогою системи нормальних рівнянь. Вони повинні задовольняти вимозі найменшої суми квадратів відхилень фактичних значень у від теоретичних значень Y, розрахованих за рівнянням регресії:

 

∑(V_ф-Y)² =тіп. (5)

Система нормальних рівнянь складається за загальними правилами математичної статистики:

 

 (6)

Для визначення числових значень параметрів рівняння регресії (а₀, а_ь а₂, а₃) у систему нормальних рівнянь (6) підставляються підсумкові дані таблиць вихідних та допоміжних розрахункових даних (табл. 2, 3): Y, X, V, 1/Z — значення першого ступеня (гр. 1, 2, 3, 5 табл. 2), їх квадратів, добутків результативного показника К окремо з кожним фактором та добутків факторних показників між собою попарно (табл. 3):

48а₀ +2914,96а₁ + 1.5173а₂ + 1633.7а₃ =258864,0

2914,9 а₀+177179.5673 а₁+91.96977 а₂+ 99065.3 а₃= 15637930.18 (7)

1,5173а₀+91.9698а₁+0.053484а₂+ 51.6692 а₃=8767.56

1633,7а₀+99065.3а₁+ 51.6692а₂+ 56396.3а₃=9096838,6

Розв'язання цієї системи нормальних рівнянь дає такі числові значення параметрів рівняння регресії:

 

а₀= -3663,3565; а₁= -94,3096; а₂= 101274,5932; а₃= 340,3005.

Підставивши ці значення в рівняння (4), отримуємо модель середньодобової продуктивності вагона:

 

Y_K1/Z,v= - 3663,36 - 94,31X+101274,59(1/Z)+340,31V. (8)

Параметри отриманого рівняння множинної регресії (8) показують ступінь впливу кожного фактору на досліджуваний показник (Y) при фіксованому (середньому) значенні всіх інших факторів, які входять до складу моделі. За цих умов зі зміною факторної ознаки на одиницю результативна ознака змінюється в середньому на величину параметра (коефіцієнт регресії). Найбільший вплив на зміну Y має дільнична швидкість (пряма залежність), простій вагонів під вантажними операціями (гіперболічна залежність), про що свідчать парні коефіцієнти кореляції r_vi та r_п та коефіцієнти еластичності Е =, які показують середній відсоток зміни результативної ознаки у процентах при зміні чинника впливу на 1% при фіксованих значеннях інших факторів даної моделі. Так, для оцінки впливу простою вагона під вантажними операціями розраховуємо коефіцієнт еластичності E_1/z:

 

E_1/z = =101274,59  = 0.593.

Це значить, що при зменшенні простою вагона на 1% або на 0,35 год. (див. табл. 1, гр. 4: Z=35,24 год.) середньодобова продуктивність вагона, в середньому, збільшується (гіперболічна залежність % із 1) на 0,59%.

Для дільничної швидкості коефіцієнт еластичності:

 

E_V = =340,31 = 2,15,

тобто збільшення дільничної швидкості на 1% спричиняє приріст середньодобової продуктивності вантажного вагона у середньому на 2,15%.

Для розрахунку множинного коефіцієнта кореляції R який характеризує щільність зв'язку результативного показника (Y) з сукупністю факторних чинників, використовується формула коефіцієнта множинної кореляції, в якій коефіцієнти регресії при чинниках подаються в стандартизованому вигляді β [5]:

 

R_Y =  (9)

 

а_j — параметри прямого рівняння регресії, а₁ (при Х), а₂(при 1/Z) і а₃ (при V); β_i — параметри стандартизованого рівняння, в якому факторні чинники виражені в стандартизованих величинах (t_i=(X_rX)/σxi);

σ_У— середнє квадратичне відхилення результативного показника (Y);

σ_i - середнє квадратичне відхилення відповідного чинника моделі (X,

^ггх' ^r_Y- ' ^гп — коефіцієнти кореляції між Y і відповідно X, 1/Z і V.

Чим ближчий коефіцієнт множинної кореляції R до 1, тим тісніший зв'язок між ознакою та чинниками впливу (X, 1/Z, V). Підставивши у ф. (9) значення β із ф. (10) отримуємо такий вираз R:

 

R_У,х,у2у =  (11)

У ф. (11) вносимо числові значення множників:

 

R_У,х,у2у =  = 0,88

Підкоренева величина R²(0,77546) називається коефіцієнтом детермінації.

Множинний коефіцієнт кореляції R=0,88 свідчить про адекватність обраного рівняння регресії та високий ступінь щільності зв'язку між результативним показником Y(F_W) і чинниковим комплексом впливу (X, 1/Z,V), а коефіцієнт детермінації R²=0,775 показує, що зміна Y на 77,5% залежить від варіації використаних у моделі (8) факторів, на інші чинники припадає лише 22,65% впливу.

Достовірність і надійність отриманого R перевіряється за критерієм Фішера. Розрахункове значення цього критерію Ф_г для використаних у моделі даних (числа спостережень = 48, кількості факторів =3) і R²=0,775 має величину 50,84, що значно перевищує табличне (критичне) його значення за цих умов Ф_габ=2,39) і підтверджує істотність і надійність дослідженої моделі (8). Отже, ця модель може бути використана для практичних розрахунків нормативного значення середньодобової продуктивності вантажного вагона F_w.

Виходячи із конкретних звітних даних залізниці про середню величину якісних показників, задіяних у досліджуваній моделі, можна визначити для будь-якої залізниці нормативну величину середньодобової продуктивності вантажного вагона (F_w), а відтак планувати необхідний робочий парк вантажних вагонів (Б n_rb) для освоєння заданого експлуатаційного вантажообороту нетто (∑ РІ)_п, оскільки:

 

∑n_rh = ∑(Pl)_n/F_w. (12)

Порівняння розрахованого нормативного значення F_w з його фактичним рівнем дозволяє оцінити ефективність використання робочого парку вагонів на залізниці.

Таблиця 3. Допоміжні розрахункові дані

№ спостер.	У2		Vі	(1/Z?	XX	YV	)'.(l/Z)	X-V	X-(\/z)	(ifz)-y
А	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
І	6110784.0	3953,4862	1004.89	0.00056	155431,34	78362.40	58,6616	1993,19	1,492	0,75225
.2	5414929,0	3970.9551	961.00	0,00046	146637,10	72137,00	49,9571	1953,48	1,352	0,66552
3	7059649,0	3964,4932	998,56	0,00055	167295,94	83961,20	62,0794	1989,67	1,471	0,73832
4	10004569,0	4015,9283	1082,41	0,00086	200443,59	104062,70	92.7022	2084,92	1,857	0,96424
5	11215801,0	4069,0389	1115,56	0,00094	213629,42	111856,60	102.6356	2130,55	1,954	1,02360
6	12802084,0	3983,2607	1115,56	0,001 15	225818,60	119505,20	121,2881	2107,98	2,139	1,13220
46	37332100,0	3458,4728	967,21	0,00246	359321,65	190021,00	302,9251	1828,95	2,915	1,54189
47	46131264,0	3414,0224	1017,61	0,00302	396854,09	216664,80	373,3920	1863,91	3,212	1,75371
48	52186176.0	3408,3803	1056,25	0,00412	421746,76	234780,00	463,6714	1897,39	3,747	2,08601
У	16078979760	177179,56	56396,3	0,053484	15637930,	9096838,6	8767,560	99065,3	91,96	51,6692
середня	33497874,5	3691,2409	1174,9	0,00111	325790,21	189517,5	182,6575	2063,9	1,916	1,076

Якщо в рівняння регресії (8) підставити середні значення факторних показників Х(60,73), 1/Z(0.0316) і V(34,035), то в результаті розрахунку отримаємо середнє значення теоретичного Y=5393,0 (яке тотожне фактичному Y, див. табл. 1).

 

Y = -3663.36 - 94,31 • 60,73 +101274.59(9.0316)+ 340,3 • 34,035 = 5393,0 ткм/ваг. за добу (див. гр. 1 табл. 1),

що підтверджує правильність розрахунків ф. (8) та тезу про вплив чинників на зміну середньої величини результативної ознаки.

Щоб отримати нормативне значення У, для кожного із 48-ми спостережень вибіркової сукупності, на базі якої розраховувалась статистична модель середньодобової продуктивності вантажного вагона, підставляємо у формулу (8) фактичні значення чинників X, 1/Z, V відповідного спостереження (гр.гр. 2-4 табл. 1). У подальшому теоретичні значення У,- використовуються для розрахунків щільності зв'язку факторних чинників з результативним показником (ф. 11), а також для аналізу ефективності використання вантажних вагонів.

 

 

Висновки

1.Застосування методу статистичного моделювання технічних нормативів експлуатаційної роботи залізниць, у тому числі продуктивності вагона (F_w), дає можливість більш обґрунтовано аналізувати ефективність роботи залізниць, оскільки саме від рівня якісних показників використання рухомого складу, особливо від простою вагонів на станціях під вантажними операціями, дільничної швидкості руху поїздів тощо, — залежить величина F_w, результати роботи та витрати на її виконання.

2. Запропонований метод можна застосовувати для статистичного моделювання нормативів середньодобової продуктивності локомотивів та інших інтегральних показників роботи і використання рухомого складу залізничного транспорту.

3. Метод моделювання технічних нормативів показників експлуатаційної роботи залізниць може бути застосовано при викладанні у вищих навчальних закладах, науковій і практичній роботі.

Література

1. Гойхман ІМ. Статистика залізничного транспорту. Ч.І.: Навчальний посібник. — К: ДЕТУТ, 2007. — 105с.

2. Гойхман ІМ. Статистика залізничного транспорту. Ч.П.: Навчальний посібник. — К: ДЕТУТ, 2008. — 205 с.

3. Макаренко MS. Краткий справочник показателей эксплуатационной работы железных дорог Украины. — К.: «Юникон-Пресс», 2001. — 754 с.

4. Поликарпов А.А. и др. Статистика железнодорожного транспорта: Учебник. — М.: Маршрут, 2004. — 512 с.

5. Венецкий И.Г., Кильдишев Г.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие. — M: Статистика, 1975. — 264 с.

6. Залізничний транспорт України на порозі реформування/ ЮМ. Цветов, М.В. Макаренко, АД. Лашко та інУ К.: — ДЕТУТ, 2008. — 189 с: іп.: Бібліограф.: с. 187-189.