Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

3 Расчёт сложных цепей переменного тока символическим методом

Электрическая схема цепи и комплексная схема замещения представлены на рисунке 5а и б соответственно.

 Рисунок 5

Намечаем в независимых контурах заданной цепи, как показано на рисунке 5б, контурные токи I_K1 и I_K2 – некоторые расчётные комплексные величины, которые одинаковы для всех ветвей выбранных контуров. Направления контурных токов принимаются произвольно. Для определения контурных токов составляем два уравнения по второму закону Кирхгофа:

I_K1*(Z₁ + Z₂) – I_K2*Z₂ = E₂

- I_K1*Z₂+I_K2*(Z₂+Z₃)= E₃ - E₂

Подставляем данные в систему:

I_K1*(- j65+14+j56) – I_K2*(14+j56) = 230

-I_K1*(14+j56) +I_K2 *(14+j56+56 – j23) = j240-230

I_K1*(14-j9) – I_K2*(14+j56) = 230

-I_K1*(14+j56) + I_K2*(70+j33) = -230+ j240

Решаем систему с помощью определителей. Определитель системы:

=1277-j168+2940– j1568=4217-j1736

Частные определители :

= = 16100+j7590–16660-j9520= -560–j1930.

 =-1060+j5430+3220+j12880 = 2160+j18310

Определяем контурные токи:

I_K1 =  =  = 0.0476-j0.438 A.

I_K2 =  =  = - 1.09+ j3.89 A.

Действительные токи в ветвях цепи определяем как результат наложения контурных токов:

I₁ = I_K1 = 0.0476 – j0.438 = 0.441 A

I₂ = I_K1-I_K2 = 0.0476.- j0.438+1.09- j3.89 = 1.14 – j4.33 = 4.48 A

I₃ = I_K2 = -1.09 + j3.89 = 4.04 A.

Составляем уравнение баланса мощностей в заданной электрической цепи. Определяем комплексные мощности источников:

S_E2 = E₂* =230(1.14+j4.33) = 262+j996=1030 B*A

S_E23= E₃* = j240*(-1.09 – j3.89) = 912 – j262 = 949 B*A

Определяем комплексные мощности приёмников электрической энергии:

S₁ = I₁²*Z₁ =0.441²*( – j65) = – j12.6 =12.6 B*A

S₂ = I₂²*Z₂ = 4.48²*(14+j56) = 281+j1124=1159 B*A

S₃ = I₃²*Z₃ = 4.04²*(56 – j23) = 914– j375 =988B*A.

Уравнение баланса комплексных мощностей!

S_Е1 + S_E2 = S₁ + S₂ + S₃;

262+j996+912-j262 = – j12.6+281+j1124+914– j375

1174+ j734 @ 1182+ j749; 1385@ 1400  

Относительная и угловая погрешности незначительны.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 0.25 А/см и ЭДС M_E = 50 В/см. Векторная диаграмма в комплексной плоскости построена на рисунке 6.

4 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приемника в звезду

Схема заданной цепи изображена на рисунке 7.

Определяем систе­му фазных напряжений генератора. Фазное напряжение:

U_Ф = Uл/= 380/1,73=220 В.

Комплексные фазные напряжения генератора:

U_A = U_Ф = 220 B

U_B = U_Ae^-j120 = 220e^-j120 = –110 – j191 B

U_C = U_Ae^j120 = 220e^j120 = –110 + j191 B

Определяем полные проводимости фаз приёмника:

Y_A =  = j0,01538 См.

Y_B =  = 0.0042-j0.0168 См.

Y_C =  = 0.0153+j0.00628Cм.

 Y_N=== j0.03125 См.

Рисунок 7

Узловым напряжением является в данном случае напряжение смещения нейтрали, которое определяется по формуле:

U_N=

= (j3.38-3.67+j1.05-2.88+j2.23)/(0.05075+j0.00486) = (-6.55+j6.66)/(0.0195+j0.03611)= 67+j218 = 228B.

Определяем фазные напряжения на нагрузке:

U_A^/ = U_A – U_N = 220- (67+j218) = 153-j218 = 266 B.

U_B^/ = U_B – U_N = (–110-j191) - (67+j218) = -177-j409 =446 B.

U_C^/ = U_C–U_N=(–110+j191) - (67+j218) = -177 – j27 = 179 B.

Определяем токи в фазах нагрузки:

I_A = U_A^/*Y_A = (153-j218)*(j0.01538) = 3.35+j2.35 = 4.1 A.

I_B = U_B^/*Y_B = (-177-j409)*(0.0042-j0.0168) = -7.61+j1.26 =7.72A.

I_C=U_C^/*Y_C= (-177 – j27)*(0.0153+j0.00628)=- 2,53–j1,52= 2,96A.

I_N= U_N*Y_N = (67+j218)*j0.03125 = - 6,8 + j2,09 = 7,12*

Проверяем правильность определения токов по первому закону Кирхгофа для точки N’:

 I_A + I_B + I_C =I_N

3.35+j2.35 -7.61+j1.26 - 2,53 – j1,52 @ - 6,8 + j2,09;

 - 6,79+j2.09 @ - 6,8 + j2,09.

Определяем комплексные мощности фаз и всей цепи:

S_A = I_A² * Z₁ = 4,1²*(-j65) = -j1092=1092 B*A.

S_B = I_B² * Z₂ = 7,72²*(14+j56) = 834+j3338 =3440 B*A

S_C = I_C² * Z₃ = 2,96²*(56-j23) = 491 – j 202 = 530 B*A.

 S= S_A + S_B + S_C = -j1092+ 834+j3338+ 491 – j 202 = 1325+j2044 =

 = 2436 B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I = 1 А/см и напряжений M_U = 40 B/см. Векторная диаграмма на комплексной плоскости построена на рисунке 8.

5 Расчёт трёхфазной цепи при соединении приёмника в треугольник

Схема заданной цепи изображена на рисунке 9

 

 Рисунок 9.

В данном случае линейные напряжения генератора являются фазными

напряжениями нагрузки:

U_AB = U_Л = 380 В.

U_BC = 380 = -190-j329 B.

U_CA = 380= -190+j329 B.

Определяем систему фазных токов нагрузки:

I_AB = =  = j5,85 = 5,85 A

I_BC =  =  = -6,32+j1,81 = 6,58 A

I_CA =  =  = -4,96+j3,83 = 6,27 A

Систему линейных токов определяем из соотношений:

I_A = I_AB – I_CA = j5,85+4,96-j3,83 = 4,96+j2,02 = 5,36 A

I_B = I_BC – I_AB = -6,32+j1,81-j5,85 = -6,32-j4,04 = 7,5A

I_C = I_CA – I_BC = -4,96+j3,83+6,32-j1,81 = 1,36+j1,92 =2,35 A

Определяем мощности фаз приемника:

 

S_AB=I_AB²*Z₁ = 5,85²*(-j65) = -j2224 = 2224B*A.

S_BC = I_BC²*Z₂ = 6,58²*(14+j56) = 606+j2425 = 2499B*A.

S_CA = I_CA²*Z₃ = 6,27²*(56 – j23) =2201– j904 = 2380*B*A.

Определяем мощность трехфазной нагрузки:

S_AB+S_BC +S_CA = -j2224+606+j2425+2201– j904 =2807 – j703 =

= 2894B*A.

Для построения векторной диаграммы задаёмся масштабами токов M_I =1 A/см и напряжений M_U = 50A/см. Векторная диаграмма построена на рисунке 10.

6 Расчёт неразветвлённой цепи с несинусоидальными напряжениями и токами

 

Составляем схему заданной цепи, подключая последовательно соединённые приёмники к источнику несинусоидального напряжения, под действием которого в цепи возникает ток с мгновенным значением

i=7Sin(wt+13⁰)+1,2Sin(2wt-86⁰)+0,4Sin3wt A, который на схеме замещения представляем как последовательно соединённые три источника переменного напряжения u₁, u₂ и u₃ c разными частотами (рисунок 11)

Величины сопротивлений заданы для частоты первой гармоники:

X_C11 = 18 Ом, R₂ = 23 Ом, X_L21 = 14 Ом, R₃ = 12 Ом, X_C31 = 62 Ом. Поскольку напряжения источников имеют разные частоты, то и реактивные сопротивления для них будут иметь разные величины. Активные сопротивления считаем от частоты не зависящими. Поэтому расчёт ведём методом наложения, то есть отдельно для каждой гармоники.

.

Рисунок 11.

Первая гармоника

Определяем активное и реактивное сопротивления всей цепи:

R = R₂ + R₃ = 14+56 = 70 Ом. X₁ = -X_C11+ X_L21- X_C31 = - 65+56–23 =

= -32 Ом.

Полное сопротивление цепи:

Z₁ =  =  = 76,7 Ом.

Амплитудные значения напряжения и тока:

 I_m1 = 7 A, U_m1 = I_m1*Z₁= 7*76.7 =537 B.

Действующие значения напряжения и тока:

U₁ = U_m1 /  = 537 / 1,41 = 381 B.

I₁ = I_m1 /  = 7 / 1,41 = 4.96 A.

Угол сдвига фаз между напряжением и током определяем по синусу:

Sinφ₁ = X₁/Z₁ = -32/76.7 = - 0.4172. j₁= - 24.66°, Cosφ₁=0.9088.

Активная и реактивная мощности первой гармоники:

P₁ = I₁² * R = 4.96² * 70 =1722 Вт.

Начальная фаза тока определяется из соотношения:

φ₁ = y_U1 – y_I1, отсюда y_U1 =y_I1 + j₁ = 13°- 24.66°= - 11.66°

 Мгновенное значение напряжения первой гармоники

 u₁= U_m1 * Sin (ωt + y_U1) = 537 * Sin (ωt – 11.66°) B.

Вторая гармоника.

Для остальных гармоник напряжения расчёты приводим без дополнительных разъяснений.

X₂= X_C11/ 2 + X_L21* 2 - X_C31 / 2 = -65/ 2 + 56* 2 - 23 / 2 = 68 Ом.

Z₂===97.6 Ом,

I_m2=1.2 A, U_m2= I_m2 *Z₂=1.2*97.6 =117 B.

 U₂= U_m2/ =117 / 1,41 = 83 B.I₂= I_m2/ = 1.2 / 1,41 = 0.85 A.

Sin φ₂= X₂/ Z₂= 68/97.6= 0,6967.j₂ = 44.16°, Cos φ₂ = 0,7173.

P₂ = I₂² * R₂ = 0.85² *70 = 51 Вт.

y_U2 =y_I2 + j₂ = -86°+ 44.16°= - 41.9°

u₂= U_m2 * Sin (2ωt + y_U2) = 117 * Sin (2ωt – 41.9°) B.

 

Третья гармоника

X₃= X_C11 /3 + X_L11* 3 – X_C31 / 3 = - 65 / 3 + 56* 3 - 23 / 3 =139 Ом.

Z₃ = = 156 Ом. I_m3 =0.4 A, U_m3 = I_m3 *Z₃ =0.4 *156 =

 = 62.4 B.

U₃= U_m3/  =62.4/  = 44.3 B. I₃ = I_m3/ = 0.4 / 1,41 = 0.28 A.

Sin φ₃ = X₃ / Z₃ =139 /156 = 0,891. j₃ = 63°. Cos φ₃ = 0,454.

P₃ = I₃² * R = 0.28² *70 = 0.5 Вт.

y_U3 =y_I3 + j₃ = 63°.

u₃= U_m3 * Sin (3ωt + y_U3) =44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Определяем действующие значения тока и напряжения:

I =  =  = 5.04 A.

U =  =  = 559 B.

Активная и реактивная мощности цепи:

P = P₁+P₂+P₃=1722+51+0.5=1774 Вт.

Средневзвешенный коэффициент мощности цепи:

Cos Х = Р / (U * I) = 1774/ (559 *5.04) = 0,6296.

Уравнение мгновенных значений напряжения между зажимами цепи:

u=u₁+u₂+u₃=537 * Sin (ωt – 11.66°)+117 * Sin (2ωt – 41.9°)+

+44.3 * Sin (3ωt +63°) B.

Литература

1.  Ф.Е. Евдокимов. Теоретические основы электротехники. - М. “Высшая школа “,1981 г.

2.  В.С. Попов. Теоретическая электротехника. – М. “Энергия”,

1978 г.

3.  Ю.В. Буртаев, П. И. Овсянников. Теоретические основы электротехники.– М. “Энергоатомиздат”, 1984 г.

4.  Л.А. Частоедов. Электротехника. - М. “Высшая школа”, 1984 г.

5.  М.Ю. Зайчик. Сборник задач и упражнений по теоретической электротехнике. – М. “Энергоатомиздат” , 1988 г.