Алгоритм Методу

2 Алгоритм Методу

Формула Гаусса називається формулою найвищої алгебраїчної точності. Для формули розрахунку найвища точність може бути досягнута для поліномів степеня (2n-1), які визначаються 2n постійними ti і Ai (і=1,2,...,n).

Суть методу полягає у визначенні коефіцієнтів Ai і абсцис точок ti. Для знаходження цих постійних розглянемо виконання формули розрахунку для функцій вигляду (2.1):

f(t)=tk, k=0,1,…,2n-1. (2.1)

Враховуючи (2.2)

tkdt=, (2.2)

отримаємо систему рівнянь (2.3) [4] :

Ai=2;

Aiti=0;

Aiti2=1; (2.3)

Aiti2n-2=; Aiti2n-1=0;

Ця система нелінійна, і її звичайне розв'язання пов'язане із значними обчислювальними труднощами. Але якщо використовувати систему для поліномів вигляду (2.4):

f(t)=tkPn(t), k = 0,1,…,n-1, (2.4)

де Pn(t) - поліном Лежандра, тоді її можна звести до лінійної відносно коефіцієнтів Ai з заданими точками ti. Оскільки степені поліномів в співвідношенні не перевищують 2n-1, повинна виконуватися система і дана формула приймає вигляд (2.5) :

 tkPn(t)dt=AitikPn(ti) (2.5)

В результаті властивості ортогональності ліва частина виразу дорівнює 0, тоді формула буде (2.6) : AitikPn(ti)=0, (2.6) що завжди забезпечується при будь-яких значеннях Ai в точках ti, які відповідають кореням відповідних поліномів Лежандра.

Підставляючи ці значення ti в систему і враховуючи перші n рівнянь, можна визначити коефіцієнти Ai.

Формула розрахунку, де ti - нулі полінома Лагранжа Pn(t), а Ai, i=1,2,...,n визначаються із системи, називається формулою Гаусса.

Значення Ai, ti для різних n наведені в довідниках.

Для довільного Інтервалу (а,b) формула для методу Гаусса приймає вигляд (2.7) :

I=Aif(xi), (2.7)

де xi обчислюється за формулою (2.8) :

xi=+ti. (2.8)

Оцінка похибки формули Гаусса з n вузлами визначається із співвідношення (2.9) :

 (2.9)

де M2n- максимальне значення 2n похідної на ділянці (а,b). Враховуючи наведені вище формули розробимо алгоритм методу (рис 1) [4].

Рисунок 1 - Алгоритм методу Гауса

3 Загальні відомості та функціональні призначення

Дана програма обчислює інтеграл виду

I=,

методом Гауса третього, четвертого та п’ятого порядків. При зменшенні кроку інтегрування похибка обчислювань зменшиться.

Програма досить зручна та проста у користуванні. Результати обчислень виводяться на екран монітора разом із розв’язком, отриманим в математичному пакеті MathCAD 2001 Professional та похибкою обчислень .

Програма призначена для обчислення тільки одного інтегралу, що значно зменшує сферу її використання. Але змінивши програмний код можна досягти обчислення і кількох інтегралів.

Дана програма досить швидко проводить обрахунок і виводить відповідь безпосередньо на екран монітору.

Програма складена на Borland C++ 5.02 і для обчислення інтегралу методом Гауса третього, четвертого та п’ятого порядків потребує такі наступні системні параметри:

- Процесор типу Pentium-2;

-256 Мb ОЗУ;

-Операційні системи MS-Windows 98/95/ХР

-Video пам’ять 32 Мб.

Вхідними даними для програми є:

а) Межі інтегруваня: a = 0, b = 1;

б) Крок інтегрування: h = 0,1; 0,2; 0,5;

в) Підінтегральна функція :

f(x) = ;

Вихідними результатами є:

Наближене значення інтегралу отримане за допомогою Mat-hcad2001;

Результат інтегралу

I=

на проміжку [0;1]

Відносна похибка при обрахунках .

Результат виконання програми рисунок 2 буде мати такий вигляд:

Рисунок 2 – Результат виконання програми

Розв’яжемо задачу в пакеті MathCAD 2001 Professional:

Значення інтегралу І=2,680695