НК – алгоритм. Параметричний фільтр АR(1)

4.3 НК – алгоритм. Параметричний фільтр АR(1)

Ітеративна схема, наведена нижче, ілюструє метод для виявлення однієї частоти у Гаусовому шумі. Наша модель це (4.1) з р = 1 та  білим Гаусовим шумом. Алгоритм має собою наступні гарантії збіжності НОС послідовності до частоти  у нашій моделі. Сімейство фільтрів це експоненціальний фільтр, що згладжує, або авторегрсійний порядку 1, АR(1)-фільтр.

Фільтр АR(1), відомий як ( - фільтр) визначається операцією:

, (4.7)

або еквівалентно в його рекурсивній формі:

, (4.8)

де квадрат коефіцієнта передачі фільтру  заданий виразом:

(4.9)

де

Параметричний фільтр АR(1) має фундаментальні властивості відносно білого шуму [15].

(4.10)

Тому НОС послідовність  та  на практиці емпіричні числа або ті, що спостерігаються, перетинів нуля обчислюються по формулі Е[D_ak] на кожній стадії в ітерації і шумовий процес не обов’язково повинен бути білим – він повинен бути з неперервним спектром. На рисунку 4.1 можна побачити як підстроюється параметр  в залежності від вхідного сигналу у конкретному випадку при використанні даного алгоритму на практиці.

Рисунок 4.1 - Зміна параметра  на протязі двадцяти ітерацій.

На рисунку 4.2 показано, як в процесі двадцяти ітерацій змінюється спектр сигналу. Можна побачити, як коефіцієнт передачі, рівномірний по всіх частотах, поступово переходить у бік низьких частот, тим самим виділяючи потрібну частоту корисного сигналу.

Рисунок 4.2 – Зміна спектру сигналу під час обробки алгоритмом НК.

К – енергетична складова гармонік, N – кількість перетинів нульового рівня

Далі буде показана реалізація алгоритму HK з використанням фільтру AR(1). Реалізація цього алгоритми була виконана з наступними параметрами:

- параметр , де k = 20 – кількість проходів по вхідної послідовності, N = 32 – кількість інтервалів, на яку розбивається вхідна послідовність , D – число перетинів нуля на попередніх інтервалах;

- кількість точок на одному інтервалі N_i дорівнює 512;

- кількість періодів синусоїди в одному інтервалі дорівнює 10 і відповідно

кількість перетинів нульового рівня – 20;

- загальна довжина вхідної послідовності дорівнює 16384 точок;

- точок відліку на один період припадає 51;

- 1024 точкам відліку у часовому вимірі відповідає 1 секунда;

- частота синусоїди дорівнює 20.0784 Гц;

- загальна довжина вхідної послідовності 16 секунд;

- кількість перетинів нуля вхідної послідовності 639.

Для проведення експерименту по виявленню корисного сигналу на фоні завади, була використана стандартна функція пакету Mathcad 2001 для отримання шуму з потрібними параметрами. Перед використанням алгоритму HK з фільтру AR(1) попередньо синусоїду з відомими параметрами змішуємо з отриманим шумом. Далі, під час проведення експерименту, можна простежити, як цей алгоритм знаходить у зашумованому сигналі потрібну частоту. Цей процес на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру  після проходження усієї вхідної послідовності, можна спостерігати на рисунку 4.3.

Рисунок 4.3 - Пошук потрібної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом. N_і - номер ітерації алгоритму, N – кількість перетинів нульового рівня.

Зміну поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру  після кожного інтервалу вхідної послідовності, можна спостерігати на рисунку 4.4.

Рисунок 4.4 - Пошук потрібної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом.

На рисунку 4.4 спостерігаються підвищення поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом рівномірно через однакові проміжки часу. Це пов’язано з тим, що алгоритм починає проходження вхідної послідовності з початку, а історія обчислень була накопичена на інтервалах в кінці послідовності і послідовність була змінена. Тому відбувається швидке підстроювання параметрів під нові інтервали.

З метою визначення ефективності даного алгоритму при обробці сигналу, в якому ефективно значення шуму відносно сигналу дорівнює, більше та менше. Для зручності співвідношення сигнал/завада обираємо наступними: 2, 1, 0,5. Також паралельно провадилися експерименти з ініціалізацією початкового значення параметру  наступними значеннями 0,1, 0,5, 0,9, -0,1, -0,5, -0,9.

За для зручності аналізу отриманих результатів було прийнято рішення подавати результати на двовимірному графіку через те, що на тривимірному графіку важко порівнювати різні експерименти. Кожен графік буде подавати інформацію про експерименти з одним співвідношення але з різними початковими значеннями параметру .

Описані експерименти проводилися для двох різновидів алгоритмів HK з використанням фільтру сімейства AR(1).

У першому варіанті алгоритму проводилася зміна поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру  після кожного інтервалу вхідної послідовності.

У другому варіанті алгоритму проводилася зміна поточної кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру  після проходження усієї вхідної послідовності.

Для отримання моделі завади була використана стандартна функція пакету Mathcad 2001 для отримання шуму з потрібними параметрами. Її амплітуда при генерації задавалася за допомогою стандартного математичного відхилення. Для порівняння амплітуди синусоїди з завадою використовувалося діюче значення амплітуди сигналу синусоїди.

На рисунку 4.5 наведені результати числових експериментів проведених з наступними початковими умовами та початковими ініціалізаціями параметрів:

- не в кожному інтервалі відбувається обчислення коефіцієнту а;

- початкове значення коефіцієнту  ініціалізується наступними значеннями: 0,1, 0,5, 0,9, -0,1, -0,5, -0,9;

- співвідношенні сигнал/шум було обрано наступним Soot = 0,5.

Рисунок 4.5 - Залежність кількості перетинів нульового рівня від частоти. Використаний генератор псевдовипадкових чисел з пакету Mathcad 2001.

Експерименти з іншими параметрами наведені в додатку А на рисунках А.1 та А.2.

На рисунку 4.6 наведені результати числових експериментів проведених з наступними початковими умовами та початковими ініціалізаціями параметрів:

- в кожному інтервалі відбувається обчислення коефіцієнту а;

- початкове значення коефіцієнту  ініціалізується наступними значеннями: 0,1, 0,5, 0,9, -0,1, -0,5, -0,9;

- співвідношенні сигнал/шум було обрано наступним Soot = 0.5.

Рисунок 4.6 - Залежність кількості перетинів нульового рівня від частоти.

Використаний генератор псевдовипадкових чисел з пакету Mathcad 2001.

На рисунку 4.7 наведене у збільшеному масштабі результати попереднього експерименту. Це було зроблено для того, щоб більш детально розглянути момент в роботі алгоритму HK з використанням фільтру сімейства AR(1), коли проводиться зміна поточного кількості перетинів нульового рівня вхідним сигналом, на протязі двадцяти ітерацій, з новим обчисленням параметру  після кожного інтервалу вхідної послідовності. Це потрібно для щоб детально показати які стрибки відбуваються під час переходу обробки вхідного сигналу з кінця на початок і як їх амплітуда залежить від обирання початкового значення параметру .

Рисунок 4.7 - Залежність кількості перетинів нульового рівня від частоти.

Використаний генератор псевдовипадкових чисел з пакету Mathcad 2001.

Експерименти з іншими параметрами наведені в додатку А на рисунках А.3 та А.4.

З проведених експериментів можна зробити висновки стосовно обирання початкового значення параметру  для отримання потрібної частоти за найменшу кількість ітерацій, ефективності двох типів алгоритмів HK з використанням фільтру сімейства AR(1), швидкості знаходження потрібної частоти в залежності від співвідношення сигнал/шум.

Висновки такі:

- як і очікувалося, при збільшенні співвідношення сигнал/шум швидкість сходження алгоритму до конкретного значення збільшується;

- найкращі результати були отримані при використанні початкового значення  = 0.9;

- результати використання обох алгоритмів НК приблизно однакові.