Навигация
Методи розв’язування задачі
30097
знаков
4
таблицы
1
изображение
1.2 Методи розв’язування задачі
Метод Жордана-Гаусса був розроблений двома вченими Жорданом та Гаусом (ві яких і пішла назва методу). Цей метод вони помітили після довгої практики роботи з системами рівнянь. Це можна пояснити складністю розв’язку цим методом.
Суть методу заключається в тому, щоб послідовно вилучати один, за одним стовпці елементів квадратної матриці, які стоять біля відповідних невідомих. Це вилучення повинно відбуватися за посередництвом деякого елемента входящого у вилучаючий стовпець. Цей основний елемент, відповідно зв’язує вилучаючий стовпець з деяким рядком системи.
При кожному вилученні стовпців необхідно проводити такі зміни в системі, щоб в кінцевому рузультаті число, яке опиняється в деякому рядку відповідало невідомій вилученого стовпця, зв’язаного один раз з даним рядком через основний елемент.
Проводити ці зміни в системі вдається за формулою обчислення двомірного визначника
шляхом вибору із системи певних елементів для обчислення визначника. Кількість обчислень таких визначників при розв’язуванні певної системи дорівнює:
де n – розмірність квадратної матриці (або кількість невідомих квадратної матриці).
1.3 Алгоритм розв’язку задачі
Розглянемо систему m лінійних рівнянь з n невідомими. Для методу Жордана-Гауса її зручно зобразити у вигляді такої таблиці:
|
|
| … |
| … |
|
| |
|
|
|
| … |
| … |
|
|
|
|
|
| … |
| … |
|
|
| … | … | … | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
| … |
|
|
|
|
|
| … |
| … |
|
|
Нехай потрібно виразити змінну 
з і-го рфвняння системи, а потім потрібно підставити отриманий вираз в усі інші рівняння системи. Таке перетворення системи називають кроком Жорданових виключень з основним елементом 
.
Такі перетворення зручно виконувати користуючись таблицею (1), яка перейде в іншц таблицю за слідуючими правилами:
Усі вільні елементи реально заданої системи лінійних алгебраїчних рівнянь, тобто стовпець 
замінюють на протилежні;
Основний елемент замінюють на одиницю. Над основним стовпчиком записують 
, а біля рядка 
;
Інші елементи основного стовпчика j залишають без змін;
Інші елементи основного рядка і-го змінюють лише свої знаки;
Елементи, які не належать розв’язуючому рядку або стовпчику обчислюють наступним чином. Створюється двовимірний визначник, який складається з таких елементів попередньої таблиці:
а) елемента з цими ж індексами, що й в обчислювальному елементі;
б) основний елемент;
в) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (а) і стовпця з елементом (б);
г) елемент, який є спільним для стовпця з елементом (б) і рядка з елементом (а).
Шуканий елемент обчислюється як добуток елементів (а) та (б) мінус добуток залишившихся елементів визначника.
Цю дію можна зобразити у вигляді формули:
Всі елементинової таблиці ділять на елемент . Тим самим створюють ще одну таблицю, але вже без стовпця з елементом , а рядок з елементом позначають так, як позначили вилучений стовпець.
Виконавши всі описані операції новостворена таблиця матиме вигляд:
|
|
| … |
|
| |
|
|
|
| … |
|
|
|
|
|
| … |
|
|
| … | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
|
|
| … | … | … | … | … | … |
|
|
|
| … |
|
|
Шукаючи невідомі 
системи лінійних алгебраїчних рівнянь продовжують виконувати операції 2...6, причому основним елементом вже не можна вибрати елемент jI рядка, в якому вже був при попередніх Жорданових виключеннях використаний елемент. Операції 2...6 продовжують мати, поки усі позначення рядків не будуть замінені позначеннями стовпців, тобто поки всі стовпці крім -го не будуть вилучені.
Шуканими елементами будуть елементи, які залишаться після всіх обчислень в рядках навпроти нових позначень даних рядків. Оскільки нові позначення рядків відповідають відповідним невідомим та елементи навпроти, будуть відповідати розв’язкам заданої системи. З обчислення випливає, що шукані невідомі опиняються в стовпці під позначенням стовпця вільних елементів.
З даного методу обчислення помітно, що для розв’язку система повинна мати одинакову кількість рядків і невідомих, бо в протилежному випадку невідомі буде важко чи навіть неможливо знайти (коли невідових більше чим рядків) даним методом.
Розв’язуючи систему вручну методом Жордана-Гауса, основним елементом зручно вибирати число на яке найменьше ділити і, зрозуміло, що неможливо вибирати 0. для полегшення розв’язку при обчисленні кожен рядок зокрема можна скорочувати.
Оскільки комп’ютер не має логічного мислення, то йому важко задати вибирати зручніший елемент. Тому йому в програмі можна задати, щоб він вибрав перший можливий елемент для основного елемента.
Похожие работы
... , ary2s Типы данных для переменных, в которых хранятся значения коэффициентов системы Unit2 Gauss1 Процедура для решения системы линейных уравнений методом Гаусса Unit2 Gaussj Процедура для решения системы линейных уравнений методом Жордана-Гаусса Unit2 i,j,l Счетчики Unit1 prover Промежуточная переменная типа String, используется для проверки наличия букв среди коэффициентов ...
... на місце вектора А3 вводимо вектор А1 та знову робимо перерахунок системи в таблиці 2 за методом Жордана-Гаусса, взявши за провідний елемент а11 = 1,5. Таблиця 3. Третій крок симплекс-методу i Б Сб сk 3 2 0 0 A0 A1 A2 A3 A4 1 A1 3 1 1 0 0,666667 -0,33333 2 A2 2 2 0 1 -0,33333 0,66667 Dk 7 0 0 1,33333 0,33333 Таким чином ...
... вычисляют в следующем порядке: xjn, xjn–1, …, xj1. 3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций. Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax = b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x = Bx + c. Здесь B – квадратная матрица с элементами bij (i, ...
... на t3 часов. Прибыль от реализации единицы готового изделия А составляет a рублей, а изделия В - b рублей. Составить план производства изделий А и В, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации. Решить задачу простым симплекс-методом. Дать геометрическое истолкование задачи, используя для этого её формулировку с ограничениями-неравенствами. а1 = 1 b1 = 5 t1 = 10 a = 2 а2 = 3 b2 = 2 t2 ...
0 комментариев