ЛИСП-реализация основных способов вычисления гамма-функции

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

1. Постановка задачи

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие гамма-функции

2.2 Вычисление гамма функции

3. Функциональные модели и блок-схемы решения задачи

4. Программная реализация решения задачи

5. Пример выполнения программы

Заключение

Список использованных источников и литературы

ВВЕДЕНИЕ

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами зависящими от параметра. К их числу относится гамма функции Эйлера.

Гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

.

Гамма-функция расширяет понятие факториала на поле комплексных чисел. Обычно обозначается Γ(z).

Была введена Леонардом Эйлером, а своим обозначением гамма-функция обязана Лежандру.

Через гамма-функции выражается большое число определённых интегралов, бесконечных произведений и сумм рядов.

1. Постановка задачи

Требуется реализовать основные способы вычисления гамма-функции:

1. Гамма-функции для целых положительных n равна

Г (n) = (n - 1)! = 1·2... (n - 1). (1)

2. Для x>0 гамма-функция получается из ее логарифма взятием экспоненты.

. (2)

3. Гамма-функции для ряда точек:

 (3)

Пример 1.

Вычислить гамма-функции Г(6).

Решение:

Так как 6 – положительное целое число, воспользуемся формулой (1):

Г(6) =(6-1)! = 5! = 120

Ответ: 120.

Пример 2.

Вычислить гамма-функции Г(0,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (2):

.

.

Ответ: .

Пример 3.

Вычислить гамма-функции Г(1,5).

Решение:

Воспользуемся формулой (3):

y = 1.5 + 2 = 3.5.

.

Ответ: .

2. Математические и алгоритмические основы решения задачи

2.1 Понятие гамма-функции

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

G(a) = (2.1)

сходящийся при .

Рисунок 1. График гамма-функции действительного переменного

Положим =ty, t > 0 , имеем

G(a) =

и после замены , через  и t через 1+t ,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до , имеем:

или после изменения в правой части порядка интегрирования ,получаем:

откуда

 (2.2)

заменяя в (2,1) , на  и интегрируем по частям

получаем рекурентною формулу

 (2.3)

так как

Рисунок 2. График модуля гамма-функции на комплексной плоскости

При целом  имеем

 (2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал, порядок которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем