ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОДЫ

2. ЛИНЕЙНЫЕ ГРУППОВЫЕ КОДЫ

Линейным называется код, в котором проверочные символы представляют собой линейные комбинации информационных. Групповым называется код, который образует алгебраическую группу по отношению операции сложения по модулю два.

Свойство линейного кода: сумма (разность) кодовых векторов линей-ного кода дает вектор, принадлежащий этому коду. Свойство группового кода: минимальное кодовое расстояние между кодовыми векторами равно минимальному весу ненулевых векторов. Вес кодового вектора равен числу единиц в кодовой комбинации.

Групповые коды удобно задавать при помощи матриц, размерность которых определяется параметрами k и n. Число строк равно k, а число столбцов равно n = k+m.

. (6)

Коды, порождаемые этими матрицами, называются (n, k)-кодами, а соответствующие им матрицы порождающими (образующими, производящими). Порождающая матрица G состоит из информационной I_kk и проверочной R_km матриц. Она является сжатым описанием линейного кода и может быть представлена в канонической (типовой) форме

. (7)

В качестве информационной матрицы удобно использовать единичную матрицу, ранг которой определяется количеством информационных разрядов

. (8)

Строки единичной матрицы представляют собой линейно-незави-симые комбинации (базисные вектора), т. е. их по парное суммирование по модулю два не приводит к нулевой строке.

Строки порождающей матрицы представляют собой первые k комбинаций корректирующего кода, а остальные кодовые комбинации могут быть получены в результате суммирования по модулю два всевозможных сочетаний этих строк.

Столбцы добавочной матрицыR_kmопределяют правила формирования проверок. Число единиц в каждой строке добавочной матрицы должно удовлетворять условию r₁ ³ d₀-1, но число единиц определяет число сумматоров по модулю 2 в шифраторе и дешифраторе, и чем их больше, тем сложнее аппаратура.

Производящая матрица кода G(7,4) может иметь вид

 и т.д.

Процесс кодирования состоит во взаимно - однозначном соответствии k-разрядных информационных слов - I и n-разрядных кодовых слов - с

 

c=IG. (9)

Например: информационному слову I =[1 0 1 0] соответствует следующее кодовое слово

. (10)

При этом, информационная часть остается без изменений, а корректирующие разряды определяются путем суммирования по модулю два тех строк проверочной матрицы, номера которых совпадают с номерами разрядов, содержащих единицу в информационной части кода.

Процесс декодирования состоит в определении соответствия принятого кодового слова, переданному информационному. Это осуществляется с помощью проверочной матрицы H(n, k).

, (11)

где R_mk^T -транспонированная проверочная матрица (поменять строки на столбцы); I_mm- единичная матрица.

Для (7, 4)- кода проверочная матрица имеет вид

. (12)

Между G(n ,k) и H(n, k) существует однозначная связь, т. к. они определяются в соответствии с правилами проверки, при этом для любого кодового слова должно выполняться равенство cH^T = 0.

Строки проверочной матрицы определяют правила формирования проверок. Для (7, 4)-кода

p₁Å+a₁Å+a₂Åa₄ = S₁ ;

p₂Å+a₁Å+a₂Åa₃ = S₂ ; (13)

p₃Å+a₁Å+a₃Åa₄ = S₃ .

Полученный синдром сравниваем со столбцами матрицы и определяем разряд, в котором произошла ошибка, номер столбца равен номеру ошибочного разряда. Для исправления ошибки ошибочный бит необходимо проинвертировать.

Пример 1. Построить групповой код способный передавать 16 символов первичного алфавита с исправлением одиночной ошибки. Показать процесс кодирования, декодирования и исправления ошибки для передаваемого информационного слова 1001.

Решение:

1.         Построим производящую матрицу G(n, k).

Если объем кода N = 2^k = 16, то количество информационных разрядов к = 4. Минимальное кодовое расстояние для исправления одиночной ошибки d₀=2s+1=3. По заданной длине информационного слова, используя соотношения:

 

n = k+m, 2ⁿ ³ (n+1)2^k и 2^m ³ n+1

вычислим основные параметры кода n и m.

m=[log₂ {(k+1)+ [log₂(k+1)]}]=[log₂ {(4+1)+ [log₂(4+1)]}]=3.

Откуда n = 7, т. е. необходимо построить (7, 4)-код.

В качестве информационной матрицы I_k(7, 4) - выбираем единичную матрицу (4´4), а в качестве проверочной матрицы R_km(7 ,4) - выбираем матрицу (4´3), каждая строка которой содержит число единиц больше или равно двум (r₁ £ d₀-1).

Таким образом, в качестве производящей можно принять матрицу

.