Навигация
Реферат
по курсу “Теория информации и кодирования ”
Тема:
"СПЕЦИАЛЬНЫЕ КОДЫ"
1. КОДЫ ФИБОНАЧЧИ
1.1 ЗОЛОТЫЕ ПРОПОРЦИИ
В математике существует большое количество иррациональных (несоизмеримых) чисел, т. е. обозначающих длину отрезка несоизмеримого с единицей масштаба. Ряд из них широко используется как в математике, так и в др. областях.
Например: Число p = 2pR/D=3,14159… , которое представляет отношение длины окружности к ее диаметру. Число e = 2,71828… , при этом 
. Логарифмы с основанием e удобны для математических расчетов. Число Ö2 =1,44… , которое представляет отношение диагонали к стороне квадрата и ряд других чисел.
Особое иррациональное число a = (1+Ö5)/2 = 1,61803, которое называется золотая пропорция или золотое сечение и является результатом решения задачи деления отрезка в крайнем и среднем отношении (рис. 1)
A C B
о o o
Рис. 1 Деление отрезка
Если задан отрезок AB то необходимо найти такую точку C, чтобы выполнялось условие AB/CB = CB/AC.
Обозначим: x = CB/AC; (CB+AC)/CB = 1+1/x = x.
При этом x2–x–1 = 0. Корни этого уравнения равны: x1,2=(1±Ö5)/2.
Положительный корень называется золотой пропорцией 
, а точка C - золотым сечением. Золотая пропорция обладает рядом уникальных свойств.
Пропорция 1,61... использовалась в архитектуре, художественных произведениях, музыке с античных времен. С этим числом связан ореол мистики, таинственности, божества и т.д.
В последнее десятилетие эта пропорция нашла свое применение в ЭВМ, АЦП-ЦАП, измерениях и т. д.
1.2 ЧИСЛА ФИБОНАЧЧИ
С золотым сечением тесно связаны числа Фибоначчи открытые итальянским математиком Леонардо из Пизы (Фибоначчи) в XIII веке, которые вычислены по формуле:
(1)
Эти числа представляют ряд: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21...
Отношение соседних чисел Фибоначчи 1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 ... в пределе стремится к золотой пропорции
. (2)
Числа Фибоначчи обладают еще рядом полезных свойств. Например, остатки от деления чисел Фибоначчи на 2 образуют последовательность: 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 1, 1, 0, ... и т. д.
Обобщенные числа Фибоначчи или p-числа Фибоначчи вычисляются по рекуррентной формуле:
(3)
Где p = 0, 1, 2, 3, … . При р = 0 число j0(n) совпадает с двоичными разрядами 2n (табл. 1).
Таблица 1
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| j0(n) | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 |
При р = 1 число j0(n) совпадает с обычным рядом Фибоначчи:
1, 1, 2, 3, 5, 8, ...
При р = 
число j0(n) = 1 для любого n ³ 0 равно:
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ...
1.3 КОДЫ ФИБОНАЧЧИ
Любое натуральное число N можно представить с помощью p-чисел Фибоначчи
(4)
где: ai Î{0, 1} - двоичная цифра i-го разряда; jp(i) - вес i-го разряда;
Любое натуральное число N можно представить также следующим способом:
(5)
Такое представление чисел N называется p-кодом Фибоначчи. Каждому pÎ{0, 1, 2, …, ¥} соответствует свой код, т. е. их число бесконечно.
При p = 0 p -код Фибоначчи совпадает с двоичным кодом.
Для 1-кода Фибоначчи кодовые комбинации имеют вид:
Таблица 2
| N | KK | Вес порядка | |||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |||
| 0 | A0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 1 | A1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 1 | A2 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 2 | A3 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 2 | A4 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 3 | A5 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 3 | A6 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 4 | A7 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 3 | A8 | 0 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 4 | A9 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 4 | A10 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 5 | A11 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 5 | A12 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 6 | A13 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 6 | А14 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 7 | А15 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
| N | KK | Вес порядка | |||||
| 5 | 4 | 3 | 2 | 1 | |||
| 5 | A16 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | |
| 6 | A17 | 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | |
| 6 | А18 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | |
| 7 | A19 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | |
| 7 | A20 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 | |
| 8 | A21 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | |
| 8 | A22 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | |
| 9 | A23 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | |
| 8 | A24 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | |
| 9 | A25 | 1 | 1 | 0 | 0 | 1 | |
| 9 | A26 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | |
| 10 | A27 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | |
| 10 | A28 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | |
| 11 | A29 | 1 | 1 | 1 | 0 | 1 | |
| 11 | A30 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | |
| 12 | А31 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | |
Как видно из таблицы 5 разрядным 1-кодом Фибоначчи можно закодировать 13 натуральных чисел от 0 до 12, при этом каждому числу соответствует множество комбинаций.
Коды Фибоначчи образуют соответствующую систему счисления с набором арифметических операций.
Сложение: Вычитание:
0+0 = 0; 0- 0 = 0;
0+1 = 1; 1 -1 = 0;
1+0 = 1; 1 -0 = 1;
1+1 = 111; 10-1 = 1;
1+1 = 1001; 110 -1 = 11;
1000-1 = 111.
При сложении 2-х единиц может быть:
1. j1(n)+ j1(n)= j1(n)+ j1(n-1)+ j1(n-2) т. е. равно 1 и перенос 1 в два младших разряда.
2. j1(n)+ j1(n)= j1(n+1)+ j1(n-2) т. е. равно 0 и перенос 1 в два разряда - предыдущий и последующий.
Коды Фибоначчи обладают рядом полезных свойств (например, избыточность и т. д.), позволяющих строить быстродействующие и помехоустойчивые АЦП (“фибоначчевые” АЦП), реализующих специальные алгоритмы преобразования. Коды Фибоначчи используются для диагностики ЭВМ, в цифровых фильтрах для улучшения спектрального состава сигнала за счет перекодировки и др. областях.
0 комментариев