Сравнение средних

1.7 Сравнение средних

Теперь рассмотрим случай, когда обе совокупности подчиняются нормальному распределению, но проверка гипотез о равенстве двух генеральных дисперсий закончилась отвержением гипотезы равенства. Такую задачу сравнения двух генеральных средних при неравных генеральных дисперсиях принято называть проблемой Беренса-Фишера (по имени учёного У. Беренса опубликовавшего первую работу на эту тему в 1929 г.). В этом случае вместо одной общей генеральной дисперсии мы имеем дело с двумя неравными генеральными дисперсиями:  σ₁² ≠ σ₂². Соответственно имеем и две выборочные дисперсии  s₁² и s₂². Тогда искомая t-статистика будет вычисляться по следующему выражению [1.7.1]:

       (1.7.1)

Введём обозначения: θ= σ₁² / σ₂²  , u = s₁² / s₂² и N= n₁/ n₂ . В этом случае выражение (1.7.1) можно переписать в следующем виде [(1.7.1)]:

 (1.7.2).

Основная сложность этого случая заключается в том, что  подкоренное выражение в знаменателе не имеет Хи-квадрат распределение, и потому статистика t не имеет распределения Стьюдента. В 40-60-е годы 20 века Бокс, Уэлч, Саттерзвайт, Кохрэн, Боно, Шеффе и многие другие статистики провели детальный анализ этой проблемы. Так в 1938 г. Уэлч исследовал приближённое распределение статистики (1.7.1) и показал, что при  равных объёмах выборок n₁ =  n₂ незнание величины θ= σ₁² / σ₂²  не очень сильно влияет на итоговый результат. Однако для случая неравных объёмов выборок ошибки становятся весьма значительными. Другие подходы позволяли аппроксимировать статистику (1.7.2) распределение Стьюдента с дробными степенями свободы.

1.8 Метод минимума X².

Метод минимума X² применим лишь и случае группированного непрерывною рас­пределения или дискретного распределения. Оценки, получаемые этим методом, при больших п асимптотически эквивалентны оценкам, полу­ченным с помощью более простого видоизмененного метода миниму­ма X², выражаемого уравнениями

(1.8.1)

или

(1.8.2)

в рассматриваемых случаях последний метод совладает с методом максимума правдоподобия.

Основная теорема о предельном распределении X² для случая, когда некоторые параметры оцениваются по выборке что оценки находятся с помощью видоизмененного метода минимума X². Однако там же было указано, что имеется целый класс методов нахождения оценок, приводящих к тому же самому пре­дельному распределению для X². Теперь мы докажем это утверждение.

Асимптотические выражения для оценок, получаемых с помощью видоизмененного метода минимума X² были приведены в явной форме

(1.8.3)

 для общего случая у неизвестных параметров а₁,...,а_г. Предположим, что выполнены условия 1)—3) предыдущего параграфа или аналогичные условия для дискретного распределения. Тогда из предыдущего параграфа следует, что оценки (1.8.3)асимптотически нормальны (это уже было показано в параграфе 30.3) и асимптотически эффективны.

Во всех множествах асимптотически нормальных и асимптотически эффективных оценок для параметров имеются члены порядка n^-1/2 та­кие же, как и в (1.8.3). Однако из вывода предельного распреде­ления для у² следует, что это предельное распределение полностью определяется членами порядка n^-1/2 в (1.8.3). Действительно, по формулам  и

получаем  и показывает,что предельное распределение для .у = (, .... ) определяется именно указанными членами.

Таким образом, теорема о предельном распреде­лении величины X² справедлива для любого множества асимптоти­чески нормальных и асимптотически-эффективных оценок пара­метров.

1.9  Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

Говорят, что случайная величина Х имеет распределение Пуассона, если её возможные значения 0, 1, 2, ... , т, ... (бесконечное, но чёткое множество значений), а соответствующие вероятности выражаются формулой:

Число l называется параметром распределения.

Простейший поток событий – такая последовательность событий, происходящих в случайный момент времени.

Поток событий называется пуассоновским, если он удовлетворяет аксиомам простейшего потока событий:

При таких допущениях с большой степенью точности выполняются следующие условия:

1.   Отсутствие последействия: вероятность того, что на произвольном временном промежутке (с точки зрения длины и расположения на временной оси) не зависит от того, что происходило в момент времени, предшествующему этому моменту.

2.   Однородность потока: Вероятность того, что на некотором временном промежутке произойдет 0,1,2,…,n событий зависит только от его длины и не зависит от положення этого отрезка на временной оси.

3.   Пусть Dt - длина временного промежутка, тогда:  (Dt)=l Dt+o(Dt), Dt®0.

4.    (Dt)=1-l Dt+o(Dt), Dt®0.

Математическое ожидание распределения Пуассона равно:

M=

Похожие работы

Математика (шпаргалка для экзамена)

Скачать

44583

0

6

... неравенство |xi|/t>=1. Учитывая это неравенство получаем: P{|X|>=t}=сумма по i: |xi|>=t pi <=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi<=сумма по i:|xi|>=t |xi|/t pi+сумма по i:|xi|<t |xi|/t*pi =1/t сумма по i от 1 до бесконечности |xi|*pi=1/t*M|X|. 2) Для Н.С.В. Х. Пусть Х – Н.С.В. с плотностью вероятности р(х). Вероятность того, что |X|>=t, равна сумме интегралов от плотности ...

Билеты на государственный аттестационный экзамен по специальности Информационные Системы

Скачать

332503

41

0

... по соответствующему полю). В окне Конструктора таблиц созданные связи отображаются визуально, их легко изменить, установить новые, удалить (клавиша Del). 1 Многозвенные информационные системы. Модель распределённого приложения БД называется многозвенной и её наиболее простой вариант – трёхзвенное распределённое приложение. Тремя частями такого приложения являются: ...

Теория вероятностей

Скачать

46495

1

6

... , вторая в среднем убывает. 3.    D(x±h)=D(x)+D(h)±2mxh Доказательство. D(x±h)=M((x±h)2)—M2(x±h)=M(x2±2xh+h2)—(M(x)±M(h))2=M(x2)±2M(xh)+M(h2)—+M2(x)+2M(x)*M(h)—M2(h)=D(x)+D(h)±2(M(xh))—M(x)*M(h)=D(x)+D(h)±2mxh Вопрос 31 Мат. статистика опирается на теорию вероятностей, и ее цель – оценить характеристики генеральной совокупности по выборочным данным. Генеральной совокупностью называется ...

Математические модели в естествознании

Скачать

141845

0

657

... поколений. Естественно, особенно они заметны, если популяция находится в изоляции, т.е. отсутствует миграция генов извне. Известны сообщества такого рода в человеческом обществе. Часть 2 Математические модели нейронных систем Изучение нейронных систем -одно из самых романтических направлений научных исследований, поскольку нейронные системы присущи как человеку, так и животным. Самая ...