Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

3.2 Дисперсивность и сверхразрешимость факторизуемых групп

Будем использовать запись  для обозначения некоторого силовского множества группы .

Теорема 3.2.1 Пусть группа , где подгруппы  и  дисперсивны по Оре. И пусть  и  – силовские множества подгрупп  и . Если циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны, то группа  дисперсивна по Оре.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, удовлетворяющие условию теоремы и не удовлетворяющие ее заключению. Пусть  – не дисперсивная по Оре группа наименьшего порядка, для которой все условия теоремы выполняются. Тогда для любой неединичной нормальной подгруппы  факторгруппа  является произведением своих подгрупп  и . Так как  и , то подгруппы  и  дисперсивны по Оре. Рассмотрим их силовские множества. Ввиду леммы 2.1.5 силовские множества подгрупп  и  соответственно равны множествам  и .

Пусть  – произвольная циклическая примарная подгруппа факторгруппы . Рассмотрим произведение циклической подгруппы  и произвольной силовской подгруппы . Ввиду леммы 3.1.9 существует примарный элемент  такой, что . Поэтому

Аналогично проверяется перестановочность циклических примарных подгрупп из  с элементами силовского множества . Таким образом, для факторгруппы  все условия леммы выполняются, а так как порядок факторгруппы  меньше порядка группы , то по индукции факторгруппа  будет дисперсивна по Оре.

Пусть теперь  – наибольший простой делитель порядка группы  и  – силовская -подгруппа подгруппы . Так как  дисперсивна по Оре, то подгруппа  нормальна в  и . Если  – некоторый примарный -элемент из , то  по условию леммы. Теперь  нормальная подгруппа в  и -холловская подгруппа  из  содержится в . Поэтому . Аналогично, , поэтому силовская -подгруппа  группы  нормальна в группе . По индукции факторгруппа  дисперсивна по Оре, а так как  – наибольший простой делитель порядка группы , то группа  дисперсивна по Оре.

Теорема доказана.

Пусть  и  – подгруппы группы . Будем говорить, что  квазинормальна в , если  перестановочна с каждой подгруппой из . Тогда можно сформулировать следующий результат, вытекающий из леммы 3.2.1.

Следствие 3.2.2. Пусть  и  – дисперсивные по Оре подгруппы группы  такие, что . И пусть  квазинормальна в  и  квазинормальна в . Тогда группа  дисперсивна по Оре.

Теорема 3.2.3 Пусть ,  – сверхразрешимые подгруппы группы . И пусть  и  – силовские системы подгрупп  и , и . Если циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны и циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны, то группа  сверхразрешима.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует несверхразрешимая группа  наименьшего порядка, для которой все условия теоремы верны.

Проверим, что если  – силовская система группы , то  – силовская система факторгруппы . Пусть  – силовская система группы  и  – нормальная подгруппа группы . Отметим, что по определению силовской системы  для всех подгрупп из . Тогда в факторгруппе  рассмотрим множество подгрупп . По лемме 3.1.4  является силовской подгруппой факторгруппы . Возьмём две произвольные подгруппы  и  из множества . Рассмотрим их произведение

Таким образом, по определению 3.1.1 мы получаем, что  является силовской системой факторгруппы .

Теперь легко проверить, что условия теоремы наследуются всеми факторгруппами группы . По индукции все нетривиальные факторгруппы группы  сверхразрешимы. Если подгруппа Фраттини , то все условия теоремы переносятся на факторгруппу . И по индукции получаем сверхразрешимость факторгруппы . Откуда вытекает сверхразрешимость и самой группы . Поэтому подгруппа Фраттини группы  единична. Если в группе  найдутся две минимальные нормальные подгруппы  и , то в силу индуктивных рассуждений факторгруппы  и  будут сверхразрешимы. Поэтому  будет также сверхразрешима, то есть сверхразрешима группа . Значит в группе  существует не более одной минимальной нормальной подгруппы, а подгруппа Фиттинга является единственной минимальной нормальной подгруппой. Ввиду предыдущей теоремы группа  дисперсивна по Оре, значит для наибольшего простого делителя  порядка группы  силовская –подгруппа  из  является минимальной нормальной подгруппой. Допустим, что  делит порядок подгруппы . Так как  сверхразрешима, то в  имеется нормальная подгруппа  простого порядка . По условию теоремы произведение  есть подгруппа группы , где  – –холлова подгруппа группы , являющаяся произведением всех силовских –подгрупп из силовской системы . Поэтому  – нормальная подгруппа группы , поскольку все подгруппы -замкнутой группы  являются –замкнутыми. Теперь , поэтому  нормальна в  и по индукции  сверхразрешима. Значит и  сверхразрешима.

Теорема доказана.

Данная теорема является обобщением следующих результатов.

Следствие 3.2.4. Пусть  и  – сверхразрешимые подгруппы группы  такие, что . И пусть  квазинормальна в  и  квазинормальна в . Тогда  сверхразрешима.

Следствие 3.2.5. Пусть группа , где ,  – сверхразрешимые подгруппы группы  взаимно простых порядков с силовскими системами  и  соответственно. Если  и циклические подгруппы из  –квазинормальны,  и циклические подгруппы из  –квазинормальны, то группа  сверхразрешима.

Следствие 3.2.6. Пусть группа , где ,  – сверхразрешимые подгруппы группы  с силовскими системами  и  соответственно. Если элементы силовских систем  и  попарно перестановочны, циклические подгруппы из  –квазинормальны, циклические подгруппы из  –квазинормальны, то группа  сверхразрешима.

Заключение

В дипломной работе рассмотрены группы с ограничениями на минимальные добавления к выделенным подгруппам. Изучены следующие вопросы:

– критерий существования супердобавления к максимальной подгруппе, на основе которого устанавливаются новые признаки сверхразрешимости как самой группы, так и отдельных её подгрупп; в частности доказано, что максимальная подгруппа  группы  обладает супердобавлением в группе  тогда и только тогда, когда индекс  в  есть простое число;

– изучено строение группы, у которой силовские подгруппы обладают супердобавлениями; а именно пусть  – наибольший простой делитель порядка группы  и  – ее силовская -подгруппа. Если  обладает супердобавлением в , то  – нормальная подгруппа группы ;

– с помощью введенного понятия силовского множества изучены новые признаки дисперсивности и сверхразрешимости факторизуемых групп с перестановочными циклическими подгруппами из факторов:

пусть группа , где подгруппы  и  дисперсивны по Оре. И пусть  и  – силовские множества подгрупп  и . Если циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны, а циклические примарные подгруппы из  –квазинормальны, то группа  дисперсивна по Оре.

Список использованных источников

1 Васильев А.Ф. и Васильева Т.И. О конечных группах, у которых главные факторы являются простыми группами // Известия ВУЗов. Серия «Математика». – 1997. – N11. – 10–14 с.

2 Курносенко Н.М. О факторизации конечных групп сверхразрешимыми и нильпотентными подгруппами // Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во ГГУ им. Ф. Скорины. Вып. 12. – 1998. – 113–122 с.

3 Монахов В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 320 с.

4 Подгоргная В.В. Минимальные добавления к подгруппам конечных групп. Курс лекций // Гомель: Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины, 2003. – 65 с.

5 Подгорная В.В. Факторизации конечных групп дисперсивными и сверхроазрешимыми подгруппами // Веснiк Вiцебскага дзяржаунага Унiверсiтэта. – Витебск: ВГУ, 1999. – №4. – С. 80–82.

6 Подгорная В.В. Полунормальные подгруппы и сверхразрешимость конечных групп // Весцi НАН Беларусi. Сер. фiз.–матэм. навук. – Мiнск, 2000. – №4. – 22–25 с.

7 Тютянов В.Н. К гипотезе Холла // Гомель, 2001. – №6. – 5 с. –

8 Черников С.Н. Группы с заданными свойствами системы подгрупп // М.: Наука, 1980. – 384 c.

9 Шеметков Л.А. Факторизации конечных групп // ДАН СССР. – 1968. – 178, №3. – С. 559–562.

10 Шеметков Л.А. Формации конечных групп // М.: Наука, 1978. – 272 c.

11 Assad M., Shaalan, On the supersolvability of finite groups // Arch. Math. – 1989. – 53. – 318–326 p.

12 Baer R. Classes of finite groups and their properties // Illinois J. Math. – 1957. – V.I. – 115–187 p.

13 Doerk K., Hawkes T. Finite soluble groups // Walter de Gruyter, Berlin – New York, 1992. – 889 p.

14 Friesen D.K. Products of normal supersolvable subgroups // Proc. Amer. Math. Soc. – 1971. – 30, №1. – 46–48 p.

15 Hall P. A characteristic property of soluble groups // J. London Math. Soc. – 1937. – 12. – P. 198–200.

16 Huppert В. Endliche gruppen, I // Berlin; Heidelberg; New York: Springer, 1967. – 793 p.

17 Carocca A., Matos H. Some solvability criteria for finite groups // Hokkaido Mathematical Joyrnal. – 1997. – Vol.26. – 157–161 p.