Парабола

3 Парабола

 

Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной точки F этой плоскости, называемой фокусом параболы, и данной прямой, называемой ее директрисой.

Построим уравнение параболы.

Пусть ось Оx проходит через фокус F параболы и перпендикулярен директрисе, а ось Оу проходит посередине между фокусом и директрисой. Обозначим через p – расстояние между фокусом и директрисой. Тогда , а уравнение директрисы .

Число p – называется фокальным параметром параболы.

Пусть  – произвольная точка параболы. Пусть  – фокальный радиус точки M. d – расстояние от точки М до директрисы. Тогда  

По определению параболы . Следовательно

Возведем это уравнение в квадрат

 (20)

– каноническое уравнение параболы, симметричной относительно оси Оx и проходящей через начало координат.

Точка (0; 0) – вершина параболы.

Если р > 0 (р > 0 ), то парабола (20) расположена правее (левее) оси Оу.

Так как для параболы , а для эллипса и гиперболы , то, следовательно, эксцентриситет параболы равен 1 (e = 1).

Заметим, что парабола, симметричная относительно Оу и проходящая через начало координат, определяется уравнением

х² = 2q y (21)

Фокус этой параболы находится в точке . Уравнение ее директрисы . Фокальный радиус ее точки М(х, у) выражается формулой .

Если q > 0 (q < 0), то ветви параболы (21) расположены выше (ниже) оси Ох.

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1

Найти координаты центра и радиус окружности, определяемой уравнением

х² + у² – 4х + 6у – 3 = 0.

Решение.

Выделим полные квадраты в данном уравнении:

х² + у² – 4х + 6у – 3 = (х² – 4х + 4) – 4 + (у² + 6у + 9) – 9 – 3 = 0

Þ (х – 2)² + (у + 3)² = 16.

Учитывая уравнение окружности (1), имеем, что ее центр находится в точке с координатами (2; –3), а радиус равен 4.

ПРИМЕР 2

Эллипс, симметричный относительно осей координат, фокусы которого находятся на оси Ох, проходит через точку М(–4; ) и имеет эксцентриситет . Написать уравнение эллипса и найти фокальные радиусы точки М.

Решение.

Каноническое уравнение эллипса имеет вид

Так как эллипс проходит через точку М, то ее координаты должны удовлетворять этому уравнению

Фокусы находятся на оси Ох, следовательно

Объединив полученные два уравнения в систему, найдем а² и в²:

Следовательно, уравнение данного эллипса имеет вид:

Фокальные радиусы точки М определим по формулам (8): х = –4, , .

Þ r₁ = а + eх = = 8 – 3 = 5,

r₂ = а – eх = = 8 + 3 = 11.

ПРИМЕР 3

Определить траекторию точки М, которая при своем движении остается вдвое ближе к точке F (–1; 0), чем к прямой х = –4.

Решение.

Пусть М (х, у). Тогда çMNú = 2 çMFú, çMNú = ç–4 – xú, çMFú= = , Þ ç– (4 + х)ú = .

Возведем в квадрат: (4 + х)² = 4 ((х + 1)² + у²),

Þ     16 + 8х + х² = (х² + 2х + 1 + у²) · 4 = 4х² + 8х + 4 + 4у²,

Þ     3х² + 4у² = 12 Þ  Þ .

Таким образом, точка М (х, у) движется по эллипсу.

ПРИМЕР 4

Написать уравнение гиперболы, имеющей вершины в фокусах, а фокусы – в вершинах эллипса .

Решение.

Из уравнения данного эллипса имеем: а = 5; в = 3, а > в.

Следовательно,  Поэтому, вершинами эллипса будут точки (±5; 0), (0; ±3), а фокусами точки F₁(–с; 0) = (–4; 0), F₂(4; 0).

Так как фокусы эллипса находятся на оси Ох (а > в), то вершины (±5; 0) будут фокусами гиперболы. Каноническое уравнение гиперболы, имеющей фокусы на оси Ох, имеет вид (13)

,

причем F₁(–5; 0), F₂(5; 0) – фокусы данной гиперболы, т. е. с₁ = 5. Найдем а₁ и в₁.

Так как вершины данной гиперболы находятся в фокусах эллипса, то а₁ = с = 4. Следовательно:

.

Таким образом, уравнение гиперболы имеет вид

ПРИМЕР 5

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F(2; 0) и от прямой у = 2. Найти вершину параболы, точки пересечения ее с осью Ох.

Решение.

Пусть точка М (х, у) – принадлежит данному множеству точек.

Следовательно çFMú = çNMú , çFMú == , çNMú = 2 – у, Þ 2 – у = .

Возведем в квадрат:

– парабола, ветви которой направлены вниз.

Найдем точки пересечения данной параболы с осью Ох.

у = 0 Þ  Þ  Þ х₁ = 0; х₂ = 4.

Т. е. это будут точки (0; 0); (4; 0).

Þ Вершина параболы будет в точке с абсциссой х = 2 Þ = = 2 – 1 = 1, т. е.

Вершиной параболы будет точка (2; 1).

ПРИМЕР 6

На параболе у² = 6х найти точку, фокальный радиус которой равен 4,5.

Решение.

Так как у² = 2рх Þ 2р = 6, р = 3.  Þ  = =  Значит у² = 6 · 3 = 18 Þ у = ± = ±. Þ (3; ±) – две таких точки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гусак А. А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.– Мн.: Тетрасистемс, 1998.

2. Овсеец М. И., Светлая Е. М. Сборник задач по высшей математике. Учебное издание.– Мн.: ЧИУиП, 2006.– 67 с.