Моделювання поведінки виробників та споживачів

1.   МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ СПОЖИВАЧІВ

В теорії споживання вважається, що споживач керується принципом рацiональностi: вiн завжди прагне максимізувати свою корисність, i єдине, що його стримує, — це обмежений дохід:

max u(x) (1.1)

 px = M

де х=(х₁,...,х_n)′ – вектор-стовпчик обсягів споживчих товарів, що придбав споживач за заданих цін; n – число різноманітних товарів; u(х) – функція корисності споживача; р = (p₁,…,p_n) – вектор-рядок цін товарів; М – обсяг доходу споживача.

Це задача на умовний екстремум, i її розв’язок зводиться до знаходження безумовного екстремуму функції Лагранжа:

L(x,λ)=u(x)-λ(px-M).

Необхідними умовами локального екстремуму є:

(1.2)

 (1.3)

Точка екстремуму справді визначає точку максимуму, оскільки матриця Гессе U(х)=є вiд’ємно визначеною. З виразу (1.3) бачимо, що споживач за фіксованого доходу так обирає набір , що в цій точці відношення граничної корисності дорівнює відношенню цін:

Якщо розв’язати (1.2), (1.3) відносно , отримаємо функцію попиту споживача:

2. РІВНЯННЯ СЛУЦЬКОГО

Розглянемо, як зміниться попит споживача, що визначається моделлю (1.1), якщо зміниться ціна одного з товарів. Нехай ціна n-го товару зросла на . Це приводить до такої зміни попиту на товари

 (2.1)

де р – вектор-рядок цін; U – матриця Гессе;  – вектор-стовпчик попиту на товари;  – множник Лагранжа;  – індекс n за дужками біля матриці означає, що взято й n-й стовпчик.

Проаналізуємо зміст складових, що входять у рівняння (2.1).

Зміна попиту за збільшення ціни з компенсацією доходу. Нехай дохід споживача збільшився на таку величину , яка компенсує споживачеві збільшення ціни на n-й товар (благо) на .

Збільшення ціни з компенсацією доходу приводить до такої зміни попиту:

  (2.2)

Тобто друга складова у правій частині рівняння (2.1) — це зміна попиту, якщо зростання ціни n-го товару на  компенсується збільшенням доходу на .

Зміна попиту за зміни доходу. Якщо дохід змінюється на , то відповідно змінюється попит:

 (2.3)

Об’єднуючи вирази (2.1), (2.2), (2.3), отримаємо рівняння Слуцького, яке є серцевиною теорії корисності:

(2.4)

Оскільки вивчається зміна попиту за зростання ціни на n-й товар, що не компенсується підвищенням доходу, то друга складова в (2.4) (з від’ємним знаком) знімає штучний приріст по спричинений компенсуючим зростанням доходу.

Ефект доходу полягає у змiнi споживання внаслідок зміни реального доходу, яка виникла через зміну цін.

Ефект заміщення полягає у змiнi споживання внаслідок зміни відносних цін.

Графік представлено на малюнку 2.1

Малюнок 2.1 - Графік

3. МОДЕЛІ ПОВЕДІНКИ ВИРОБНИКІВ

 

Моделі оптимального (раціонального) вибору виробника (фірми). Нехай виробнича фірма випускає один продукт (чи багато продуктів, але з постійною структурою). Позначимо річний випуск у натурально-речовiй формі через Х – кількість одиниць продукту одного виду, вектор-стовпчик можливих обсягів різних видів ресурсів через х = (х₁, ..., х_n)′. Тоді технологія фірми визначатиметься її виробничою функцією, яка виражає зв'язок між випуском i витратами ресурсів:

Х=F(х).

Припускається, що F(х) двiчi неперервно диференційована, неокласична, i матриця її других похідних є вiд’ємно визначеною.

Якщо  – вектор-рядок цін ресурсів, а р – ціна продукції, то кожному вектору витрат х вiдповiдає прибуток:

 (3.1)

У (3.1)  – вартість річного випуску ô³рми, або її річний дохід,  – витрати виробництва чи вартість витрат ресурсів за рік.

Якщо не вводити інших обмежень, крім невід’ємних обсягів витрат ресурсів, то задача знаходження максимуму прибутку набере вигляду:

(3.2)

Це задача нелiнiйного програмування з n умовами невід’ємності:  Необхідними умовами існування екстремуму є умови Куна-Таккера:

(3.3)

Якщо в оптимальному розв’язку використовуються всi види ресурсів, тобто , то умови (3.3) матимуть вигляд:

(3.4)

тобто в оптимальній точці вартість граничного продукту даного ресурсу повинна дорівнювати його цiнi.

Розглянемо задачу знаходження максимуму випуску за заданого обсягу витрат

 (3.5)

Це задача нелiнiйного програмування з одним лiнiйним обмеженням i умовою невiд’ємностi змінних. Побудуємо функцію Лагранжа

і знайдемо її максимум за умови невiд’ємностi змiнних. Для цього необхідно, щоб виконувались умови Куна-Таккера:

(3.6)

Як бачимо, якщо покласти , умови (3.6) збiгаються з умовами (3.3).