Геометрична інтерпретація комплексних чисел

3. Геометрична інтерпретація комплексних чисел

Вивчаючи комплексні числа, можна використовувати геометричну термінологію і геометричні міркування, яякщо встановити взаємно однозначну відповідність між множиною комплексних чисел і множиною точок координатної площини. Цю відповідність можна встановити так. Кожному комплексному числу a + bί поставимо у відповідність точку М(a;b) координатної площини, тобто точку, абсциса якої дорівнює дійсній частині комплексного числа, а ордината – коефіцієнту уявной частини. Кожній точці М(a;b) координатної площини поставимо у відповідність комплексне число (малюнок 1).

Малюнок 1

Очевидно, що така відповідність є взаємно однозначною. Вона дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки деякої площини, на якій вібрано систему координат. Координатну площину називають при цьому комплексною, вісь абсцис – дійсною віссю, бо на ній розміщені точки, що відповідають комплексним числам a + 0ί, тобто відповідають дійсним числам. Вісь ординат називають уявною віссю – на ній лежать точки, які відповідають уявним комплексним числам 0+ bί.

Зручною є також інтерпритація комплексного числа як вектора ОМ (дивіться малюнок 2)

Малюнок 2

Поставимо у відповідність кожному комплексному числу вектор з початком у точці О(0;0) і кінцем у точці М(a;b). Ви знаєте, що такий вектор називають радіус – вектором, а його проекції на осі є координатами вектора. Отже, можна сказати, що геометрични зображенням комплексного числа z = a + bί є радіус – вектор з координатами a і b. Відповідність між множиною комплексних чисел, з одного боку, і множиною точок або векторів площини, з іншого, дає змогу комплексні числа називати векторами аьо точками і говорити, наприклад, про вектор a + bί або про точку a + bί.

На малюнку 2 вектори ОА, OB, OC, OD є відповідними геометричними зображеннями комплексних чисел z₁= 2+2ί; z ₂= -3+4ί; z ₃= -4-3ί; z ₄= 4-2ί.

Протилежним комплексним числам відповідають протилежні вектори.

Малюнок 3

На малюнку 3 зображено дві пари протилежних векторів OA i OC, OB i OD, що відповідають парам протилежних чисел 3+4ί та –3-4ί; -2+3ί та 2-3ί.

Геометричне зображення суми і різниці двох комплексних чисел.

З геометричної інтерпретації комплексних чисел у вигляді векторів випливає можливість геометричного зображення додавання комплексних чисел. Воно знаходиться до знаходження сум двох векторів за відомим правилом паралелограма.

Нехай дано два комплексних числа z₁ = a₁ + b₁ί та z₂ = a₂ + b₂ί, яким відповідають радіус – вектори ОА і ОА (малюнок 4). Побудуємо на цих векторах як на сторонах паралелограм. Тоді зображенням суми комплексних чисел z₁ і z₂ буде вектор ОВ (діагональ паралелограма) справді, при додаванні векторів їх відповідні координати додають. Тому, якщо вектор ОА₁ має координати (a₁;b₁), а вектор ОА₂ (а₂;b₂), то їх сума – вектор ОВ – матике координати (а₁+а₂;b₁+b₂). Вектор ОВ відповідає комплексному числу (а₁+а₂) + (b₁+b₂), яке є сумою чисел z₁ і z₂.

 

Малюнок 4

Нехай, наприклад, треба знайти геометричне зображення різниці z₁ - z₂ комплексних чисел z₁ = 2+3ί та z₂ = -3+2ί. Будуємо вектор ОА, що є зображенням числа z₁, і додаємо до нього вектор ОВ, який зображує число z₂ = -3+2ί, протилежне від’ємнику (малюнок 5). Шукану різницю зображують вектором ОС, що є сумою векторів ОА і ОВ. Йому відповідає комплексне число 5+ί.

Малюнок 5

 

4. Тригонометрична форма запису комплексних чисел

Запис числа z у вигляді a + bί називається алгебраїчною формою запису комплексного числа. Крім алгебраїчної форми використовують й інші форми запису комплексних чисел – тригонометрична і показникова. Розглянемо тригонометричну форму запису, а для цього введемо поняття про модуль і аргумент комплексного числа.

а) Модуль комплексного числа.

 

Побудуємо радіус – вектор ОА, що є геометричним образом комплексного числа z = a + bί (малюнок 6).

Модулем комплексного числа z = a + bί називається значення Öa² + b². Число r =Ö a² + b² перетворюється на нуль тільки за умов a =0, b =0.

Модуль комплексного числа a + bί позначається символом a + bί. Отже, a + bί = Ö a² + b².

Якщо комплексні числа мають один і той самий модуль, то кінці векторів, які зображують ці числа, лежать на колі з центром у початку координат і радіусом, що дорівнює їх модулю.

Приклади: знайти модулі даних комплексних чисел.

1) 5+7ί = Ö25+49 = Ö74;

2) –2-3ί = Ö4+9 = Ö13;

3) 8+0ί=Ö64 = 8;

4) 5ί= 5.

Б) аргумент комплесного числа.

Нехай радіус – вектор ОА зображує комплексне число z = a + bί (дивіться малюнок 6). Позначимо α кут, який утворює вектор ОА з додатним напрямом осі х. Числове значення кута α, виміряного в радіанах, називається аргументом комплексного числа a + bί. Якщо комплексне число дорівнює нулю, то вектор ОА перетворюється в точку (нуль – вектор), і говорити про його напрям немає сенсу. Тому вважають, що число нуль не має аргументу. Кожне відмінне від нуля комплексне число має нескінченну множину значень аргументу, які відрізняються один від одного на ціле число повних обертів, тобто на величину 2πn, де n – довільне ціле число. Значення аргументу, взяте в межах першого кола, тобто від 0 до 2π, називається головним. Головне значення аргументу комплексного числа можна визначити з рівності tg α = b/a. Справді, за знаками a i b можна встановити, в якій четверті міститься кут α, і за величиною tg α, використовуючи таблиці, знайти величину кута α.

Приклади: знайти головне значення аргументу даних комплексних чисел.

1) z = 1+ί;

Маємо: tg α = 1. Оскільки a = 1 та b = 1, радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить І чверті і тому α - гострий кут. Отже, = π/4.

2) z = -2+2Ö3ί;

Маємо: tg α = 2Ö3/(-2) = -3. Тут а = -2, b = 2Ö3, тобто радіус – вектор, який відповідає даному комплексному числу, належить ІІ чверті. Отже, α = π 2/3.

3) z = -1-ί;

Маємо: tg α = 1. Радіус – вектор, що відровідає даному комплексному числу, належить ІІІ чверті. Отже, α = π 5/4.

4) z = 1-Ö3ί;

Маємо: tg α = -Ö3. Тут а = 1, b = -Ö3. Радіус – вектор, що відповідає даному комплексному числу, належить IV чверті. Отже, = π 5/3.

в) тригонометрична форма комплексного числа.

Нехай вектор ОА є геометричним зображенням комплексного числа z = a + bί (дивіться малюнок 7), модуль якого дорівнює r, а аргумент α. У прямокутному трикутнику АОС а = r cos α, d = r sin α. Підставляючи у запис комплексного числа замість а та d їхні значення, виражені через модуль і аргумент, дістанемо :

Z = r cos α + ίr sin αί = r(cos α + ίsin α).

Вираз r(cos α + sin αί) називається тригонометричною формою комплексного числа. Будь – яке число a + bί, дане в алгебраїчній формі, можна подати в тригонометричній формі. Модуль r знаходимо за формулою r =Ö a² + b², а кут α визначаємо із залежності tg α =b\a, яка випливає з формул cos α = a\r, sin α = b\r.

Приклади:

а) z = -1-Ö3ί;

Маємо: r = Ö(-1)²+(- Ö3)² = 2; tg α = Ö3; α = 4π\3 + πn, n є Z.

Через те, що радіус – вектор, який зображує число z = a + bί, розміщений у ІІІ чверті комплексної площини, то за аргумент беремо α = 4π\3 + πn. Отже, -1-Ö3ί = 2(соs 4π\3 + ί Sin 4π\3).

б) z = ί;

Тут а = 0, b = 1, отже, r = 1. Вектор, що зображує число ί, утворює з віссю абсцисс кут π\2 (поясніть чому). Отже, ί = cos π\2 + ί sin π\2.

в) z = 3.

Тут а = 3, b = 0, отже, r = 3.

3 = 3(cos 0 + ί sin 0).

Розглянемо приклади переходи від тригонометричної форми комплексного числа до алгебраїчної.

Приклади:

а) 2(cos π\3+ ί sin π\3) = 2(1\2+Ö3ί \2) = 1 +Ö3ί;

б) 4(cos 2π\3 + ί sin 2π\3) = 4(-1\2+Ö3ί \2) = -2 + 2Ö3ί.

г) Множення і ділення комплексних чисел, записаних в тригонометричній формі.

Тригонометрична форма запису комплексних чисел виявляється дуже зручною під час множення і ділення чисел. Нехай Z₁=r₁(cos α₁ + ί sin α₁), Z₂=r₂(cos α₂ + ί sin α₂) – два числа, що записані в тригонометричній формі. Тоді

Z₁ Z₂= r₁r₂( cos α₁ cos α₂ - sin α₁ sin α₂ + ί sin α₁cos α₂ + ί sin α₂ cos α₁), або Z₁ Z₂= r₁r₂( cos (α₁ + α₂) + ί sin (α₁ + α₂)).

Отже, справедливим є твердження: під час множення комплексних чисел у тригонометричній формі модулі їх перемножуються, а аргументи додаються. Для знаходження частки множимо чисельник і знаменник на число, спряжене до знаменника:

Z₁\Z₂=r₁(cos α₁ + ί sin α₁)(cos α₂ - ί sin α₂)\ r₂(cos α₂ + ί sin α₂)(cos α₂ - ί sin α₂) = r₁\r₂х(cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\( cos² α₂ + ί sin ²α₂)= r₁( cos (α₁ - α₂) + ί sin (α₁ - α₂))\r₂.

Отже, під час ділення комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаюьтся.

Приклади. Виконати множення і ділення комплексних чисел, записаних у тригонометричній формі.

а) Z₁=3(cos 7° + ί sin 7°); Z₂=8(cos 15° + ί sin 15°);

д) Подаємо без доведення правила піднесення до степеня комплексного числа, записаного в тригонометричній формі.

При будь – якому натуральному n

(cos α + ί sin α)ⁿ = cos nα + ί sin nα.

Це твердження називається формулою Муавра.

Приклади. Виконати дії піднесення до ступеня даного комплексного числа.

Z=Ö3-ί. Обчислити Z.

Модуль даного числа дорівнює Ö(Ö3)²+1 = 2, аргумент α = -π\6, отже модуль числа Z дорівнює 2, аргумент 9α = -9π\6 = -3π\2. Таким чином,

(Ö3-ί) = 2 (cos (-3π\2)+ ί sin(-3π\2)) = 512ί.

є) добування кореня з комплексного числа.

Корінь n – го ступеня з числа Z=r(cos α + ί sin α) обчислюють за формулою

ω = Ör(cos ((α + 2 πк)\n) + ί sin ((α + 2 πк)\n)),

де к – деяке ціле число (к є Z).

Підставляючи замість к значення 0, 1, 2…n – 1, дістанемо n різних значень кореня. Так, якщо n = 2, к = 2 матимемо sin ((α + 4 π) = sin α\2 і так далі.

Приклади. Знайти всі значення Ö1

Оскільки 1 = 1(cos 0 + ί sin 0), то

Ö1(cos 0 + ί sin 0) = 1(cos ((0 + 2 πк)\5) + ί sin ((0 + 2 πк)\5), к = 0, 1, 2, 3, 4. Надаючи к послідовно значень 0, 1, 2, 3, 4, выдповыдно дыстанемо:

Z₁= 1, якщо к = 0;

Z₂= cos 2π\5 + ί sin 2π\5, якщо к = 1;

Z₃= cos 4π\5 + ί sin 4π\5, якщо к = 2;

Z₄= cos 6π\5 + ί sin 6π\5, якщо к = 3;

Z₅= cos 8π\5 + ί sin 8π\5, якщо к = 4.

Цікавий такий факт. Модулі всіх цих значень Ö1 дорівнюють 1. Отже, точки Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ лежать на колі радіуса 1 з центром у початку координат. Побудувавши аргументи значень Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅ , помітимо, що точки, які зображують числа Z₁, Z₂, Z₃, Z₄, Z₅, є вершинами правильного п’ятикутника (малюнок 7).

Взагалі точки, які відповідають значенням кореня n – го ступеня з комплексного числа Z=r(cos α + ί sin α), розміщуються у вершинах правильного n – кутника з центром у точці О.

Малюнок 7

 

Література

1.  Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для ВТУЗов. Т. 1 М.: 1968.

2.  Воробьева Г. Н., Данилова А. Н. Практикум по численным методам. М.: 1979.

3.  Математический практикум. М.: 1960.