Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні або ділять його кути пополам, то цей паралелограм ромб

1.         Якщо діагоналі паралелограма взаємно перпендикулярні або ділять його кути пополам, то цей паралелограм ромб.

(х є Х) (Р₁ (х) v Р₂ (х))  Q (х))

Р₁ (х) – діагоналі взаємно перпендикулярні

Р₂ (х) – діагоналі паралелограма ділять його кут пополам

Q (х) – цей паралелограм – ромб.

2.         Теорема про середню лінію трапеції

„Якщо чотирикутник є трапеція, то пряма, яка з’єднує середини непаралельних сторін паралельна основі трапеції і рівна їх півсумі”

(х є Х) (Р (х)  (Q₁ (х)  Q₂ (х))

Р (х) – чотирикутник трапеція

Q₁ (х) – середня лінія паралельна основі трапеції

Q₂ (х) – середня лінія рівна півсумі основ

(х є Х) – для будь-якого чотирикутника.

Теорема може мати і ще складнішу форму, включаючи різнойменні квантори.

§ 3. 6. Види теорем.

Ще у школі ми зустрічалися з різними видами теорем: пряма, обернена, протилежна. Розглянемо їх з точки зору предикатів.

Теорема: „Якщо сума цифр числа ділится на 3, то і це число ділиться на 3”.

Вона зипишеться: (х є N) (Р (х)  Q(х))

х є N – теорема справедлива для всіх натуральних чисел.

Р (х) – умова теореми: „Сума цифр числа х : 3”.

Q(х) - висновок теореми: „Число х ділиться на 3 ”.

Будемо вважати, що це є пряма теорема.

Поміняємо місцями умову і висновок без зміни пояснювальної частини. Одержимо обернену теорему. Вона записується у формі предиката:

(х є N) (Q (х) Р (х))

Обернена теорема: „Якщо число ділиться на 3, то сума цифр цього числа ділиться на 3”.

Якщо в прямій теоремі умову і висновок замінити їх запереченням, то одержимо протилежну до прямої теореми, яка запишеться

(х є N) ( )

„Якщо сума цифр даного числа не ділится на 3, то й саме число не ділиться на 3”.

Якщо в оберненій теоремі умову і висновок замінити їх запереченнями, то одержимо теорему протилежну до оберненої.

(х є N) ( )

„Якщо число не ділиться на 3, то й сума цивр цього числа не ділиться на 3”.

В даному прикладі усі теореми істинні. Є багато прикладів, де істинність прямої теореми ще не означає істинність оберненої теореми чи протилежної теореми. Але не треба думати, що усі чотири теореми логічно незалежні і вимагають кожний раз окремого доведення.

Справедливі такі твердження:

1)         Пряма теорема рівносильна теоремі, протилежній до оберненої

2)         Обернена теорема рівносильна протилежній теоремі. Цю залежність можна зиписати:

(х є Х) (Р (х)  Q(х)  (х є Х) ()

(х є Х) (Q (х) Р (х)  (х є Х) ()

 

§ 3. 7. Необхідні і достатні умови.

Необхідні і достатні умови є важливими і ними приходиться користуватися в математиці при доведенні теорем, при встановленні залежності між елементами геометричних фігур і алгебраїчних виразів та величин при розв’язанні задач.

Необхідною умовою правильності даного твердження називається умова при невиконанні якої це твердження не може бути вірним.

Приклади:

1.   Подільність числа на 2 і 3 є необхідною умовою подільності на 12. Але це не достаня умова , бо є числа 18, 30. які діляться на 2 і 3, а на 12 не діляться.

2.   Необхідною умовою рівності 2-х трикутників є рівність відповідних кутів цих трикутників.

3.   Необхідною умовою подібності трикутніків є пропорційність відповідних сторін трикутників.

Необхідні умови формулюються переважно у вигляді протилежної або оберненої теореми:

(х є Х) (Q (х) Р (х))

(х є Х) (  )

Достатніми умовами правильності даного твердження називаються умови, при виконанні яких це твердження є вірним.

Приклади:

Достатньою умовою рівності трикутників є рівність їх відповідних сторін.

Достатні умови будуть тоді, коли (х є Х) (Q (х) Р (х)) – істинна.

Бувають умови є одночасно необхідними і достатніми для правильності певногоь твердження. Це буде тоді, коли істинні і пряма і обернена теореми.

Приклади:

1.   Подільність числа n на 2 і 3 є необхідною і достатньою умовою для подільності його на 6.

2.   Якщо з двох доданків один ділиться на певне число, то для того, щоб їх сума ділилась на це число необхідно і достатньо, щоб другий доданок ділився на це число.

3.   Для того, щоб чотирикутник був паралелограмом, необхідно і достатньо, щоб його діагоналі точкою перетину ділились навпіл.

Умови можуть бути достатніми, але не необхідними.

Подільність числа на 6 є достатньою умовою того, щоб число було парним. Але чи буде вона необхідною? Ні? Існують числа 2, 4, 8, 10, 14, … які не дівляться на 6, але є парні. Візьмемо твердження: „Якщо многокутник правильний, то навколо нього можна описати коло”. Це достатня, але не необхідна умова. Існують і неправильні многокутники, навколо яких можна описати коло.

Бувають умови необхідні, але не достатні.

Приклади:

1.         Людина твердить: щоб відпочити у Криму необхідні гроші. Наявність грошей необхідна умова, але не достатня, томущо треба мати відпустку, білет на поїзд, путівку ш т.д.

2.         Подільність числа n на 2 є необхідною умовою для подільності на число 6. Але чи достатньо подільність числа на 2, щоб воно при всіх обставинах ділилося на 6. Є числа 4, 8, 10, 14, які ділятся на два але не ділятся на 6.

Ми одержимо такий переклад термінів “необхідно” і “достатню” на логічну мову.

На україньскій мові	На логічні мові
1.         P(x) достатня умова для Q(x) 2.         Р(х) необхідна умова для Q(x) 3.         Р(х) необхідна умова, але недостатня умова для Q(x) 4.         P(x) достатня умова, але не необхідна умова для Q(x) 5.         Р(х) необхідна умова і достатня умова для Q(x)	P(x)Q(x) – істинне Q(x) P(x) – істинне або - істинне Q(x) P(x) – істинне але P(x)Q(x) – хибне P(x)Q(x) – істинне але Q(x) P(x) – хибне P(x)Q(x) і Q(x) P(x) – істина або істинна іквіваленція