Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

2.2 Исследование бесконечно-удаленной части плоскости

Очень важным для исследования вопроса о наличии замкнутых траекторий являются сведения о поведении траекторий при удалении в бесконечность, то есть исследование бесконечно-удаленных частей плоскости.

Для этого воспользуемся преобразованием Пуанкаре [7]:

, (2.8)

которое позволяет изучить особые точки лежащие на экваторе сферы Пуанкаре вне концов оси OY.

Имеем

 

 

Значит преобразование (2.8) переводит систему (1.1) в систему:

 (2.9)

Введем новое время . Система (2.9) примет вид:

 (2.10)

Изучим бесконечно-удаленные точки на оси u, т.е. при z=0.

Получаем

 (2.11)

Приравнивая второе уравнение системы (2.11) к нулю, получаем

 

Таким образом, состоянием равновесия являются две точки N₁(0,0) N₂(0,).

Исследуем характер точек N₁, N₂.

1. Исследуем точку N₁(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.10) в точке N₁:

 (2.12)

Согласно выражениям (2.12), получаем характеристическое уравнение:

Получим, что

 

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₁(0,0) - устойчивый узел.

2. Исследуем точку N₂(0,).

Учитывая выражение (2.12), составим характеристическое уравнение в точке N₂:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и различных знаков. Следовательно, точка N₂(0,)-седло.

Исследуем бесконечно-удаленную часть плоскости в конце оси OY с помощью преобразования [7]

 

Это преобразование систему (2.1) переводит в систему:

 (2.14)

Введем новое время , тогда система (2.14) примет следующий вид:

 (2.15)

При z=0, получаем:

 (2.16)

Приравнивая второе уравнение системы (2.16) к нулю, получаем

 

Для исследования состояний равновесий на концах оси OY, необходимо исследовать только точку N₃(0,0).

Составим характеристическое уравнение системы (2.16) в точке N₃:

соответственно характеристическими числами будут являться

Корни - действительные и одного знака. Следовательно, точка N₃(0,0) – устойчивый узел.

Теперь дадим распределение состояний равновесия системы (2.1) в виде таблицы 1.

Таблица 1.

a	О	А	В	С	∞
					N1	N2	N3
(-∞;0)	с	У+	с	У-	У+	с	У+
(0;+∞)	с	У-	с	У+	У+	с	У+

Примечание: через с, у⁺, у^- обозначены соответственно седло, устойчивый узел, неустойчивый узел.

Положение кривых (1.4), (1.18) и расположение относительно их состояний равновесия при a>0 и a<0 дается соответственно рис. 1(а,б).

а) (a>0)

 

б) (a<0)

Рис.1

 

2.3 Построение качественной картины поведения траектории в круге Пуанкаре

Поскольку три состояния равновесия A, B, C расположены на интегральных кривых, то вопроса существования предельных циклов вокруг этих точек не возникает.

Начало координат расположено вне интегральных кривых и является седлом с индексом (-1). Предельные циклы могут окружать состояния равновесия с индексом (+1). Отсюда заключаем, что изучаемая система предельных циклов не имеет.

Поведение сепаратрис седла O, B легко выяснить.

Сепаратрисы седла В полностью определяются интегральными кривыми. Сепаратрисы седла О(0,0) однозначно выясняются с помощью изучения поля направления системы на осях координат. Так для а>0 α – сепаратрисы седла О примыкают к точке С и N₃, а ω – сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, а при а<0 a-сепаратрисы примыкают к точке А и N₁, w - сепаратрисы – к точке С и N₃.

В результате получаем, что качественная картина исследования траекторий в целом при а>0 определяется рисунком 2а приложения, а при а<0 – рисунком 2б приложения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной дипломной работе построена квадратичная двумерная стационарная система, имеющая два частных интеграла в виде кривых третьего и первого порядков. При этом коэффициенты кривых выражаются через произвольный параметр системы.

Проведено качественное исследование полученной системы, найдены четыре состояния равновесия, три из которых А, В, С принадлежат интегральным кривым. Исследована бесконечно-удаленная часть плоскости, доказано отсутствия предельных циклов, выяснено поведение сепаратрис седел и построена качественная картина поведения траекторий системы в целом.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ

1       Баутин Н.Н. О числе предельных циклов, появляющихся при изменении коэффициентов из состояния равновесия типа фокуса или центра // Матем. сб.- 1952.- Т.30,№1.- 458 с.

2       Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.-М.: Наука, 1976.- 274 с.

3       Бендиксон И. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- УМН, 1941.- Вып. 9.- 643 с.

4       Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М.-Л.: Гостехиздат, 1941.- 340 с.

5       Воробьев А.П. К вопросу о циклах вокруг особой точки типа “узел” // ДАН БССР.- 1960.- Т.4,№9.- 720 с.

6       Еругин Н.П. Построение всего множества систем дифференциальных уравнений, имеющих заданную интегральную кривую.- ПММ.- 1952.- Т.16, Вып. 6.- с.659-670.

7       Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями.- М.-Л.: ГИТТЛ, 1947.- 839 с.

8       Серебрякова Н.Н. Качественное исследование одной системы дифференциальных уравнений теории колебаний.- ПММ.- 1963 Т.27, Вып.1.- 230 с.

9       Филипцов В.Ф. К вопросу алгебраических интегралов одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1973.- Т.9,№3.- 256

10  Черкас Л.А. Об алгебраических решениях уравнения  , где P и Q – многочлены второй степени // ДАН БССР.- 1963.- Т.7,№11.- 950 с.

11  Яблонский А.И. Алгебраические интегралы одной системы дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения.- 1970.- Т.6,№10.- с. 1752-1760.

ПРИЛОЖЕНИЕ   Поведение траекторий системы (2.1)

а) (а>0)

б) (а<0)

Рис. 2