ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ

2.1 Исследование системы (1.1) с коэффициентами, заданными формулами (1.35) в конечной плоскости

 

Пусть мы имеем систему (1.1), коэффициенты которой определяются согласно формулам (1.35),т.е. систему:

 (2.1)

Интегральные кривые (1.4),(1.18), согласно формулам (1.36), имеют вид:

x³+12ax²-axy+ay²+a²x-a²y+a³=0, (2.2)

-nx+ny-an=0. (2.3)

Найдем состояния равновесия системы (2.1). Приравняв правые части системы к нулю и исключив переменную x, получим следующее уравнение для определения ординат состояний равновесия:

8192y⁴-11776ay³+5480a²y²-825a³y=0. (2.4)

Из (2.4) получаем, что

y₀=0, y₁=a, y₂=a, y₃=a. (2.5)

Абсциссы точек покоя имеют вид:

x₀=0, x₁= -a, x₂= -a, x₃= -a. (2.6)

Согласно (2.5) и (2.6) заключаем, что система (2.1) имеет четыре состояния равновесия - , , , .

Исследуем поведение траекторий в окрестностях состояний равновесия , , , .

1.     Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке [10, с. 1760-1765]

Отсюда

 (2.7)

Следовательно, характеристическое уравнение примет вид:

==0.

,

Характеристическими числами для точки системы (2.1) будут

.

Корни  - действительные, различных знаков не зависимо от параметра a. Следовательно, точка  - седло.

2.     Исследуем точку .

Составим характеристическое уравнение в точке A. Согласно

равенствам (2.7) характеристическое уравнение примет вид:

,

,

то есть

, .

Корни  - действительные и одного знака, зависящие от параметра a. Если a<0, то точка  - устойчивый узел, если a>0, то точка -неустойчивый узел.

3.     Исследуем точку .

Применяя равенства (2.7), составим характеристическое уравнение в точке B:

 

, .

Корни  - действительные и одного знака. Следовательно, точка - седло при любом параметре a .

4.     Исследуем точку  .

Учитывая выражения (2.7), составим характеристическое уравнение в точке:

 

,

Характеристическими числами для точки  системы (2.1) будут

 ,

Корни  - действительные и одного знака.Следовательно точка  - устойчивый узел, если a>0 и неустойчивый узел, если a<0 .