Навигация
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
8259
знаков
0
таблиц
2
изображения
4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
Основным недостатком интерполяционных многочленов является наличие у них большого числа экстремумов и точек перегибов, что определяется суммированием в них многочленов 
, n раз меняющих свой знак. Кроме того, исходные табличные значения функции заданы неточно по разным причинам, поэтому строить многочлены выше 4-5-й степени, зная, что из теоретических исследований функция в интервале таблицы совсем не такая, не имеет особого смысла.
Если табличные значения функции можно интерпретировать как теоретическое значение плюс погрешность, то, задав некоторый критерий близости теоретической кривой к заданному множеству табличных точек, можно найти нужное число параметров этой кривой.
Наиболее популярным критерием близости является минимум среднего квадрата отклонения:
,
где 
– точка экспериментальных данных из таблицы,
– значение искомой зависимости в точке 
.
Если искомую зависимость желательно представить многочленом степени n, то (n+1) коэффициент в нем будут представлять неизвестные параметры. Подставив в сумму квадратов отклонений искомый многочлен, получим функционал, зависящий от этих параметров:
Чтобы функционал 
был минимален, необходимо все частные производные функционала по параметрам приравнять нулю и систему разрешить относительно неизвестных параметров 
. Эти действия приводят к следующей системе линейных уравнений
Здесь 
– постоянный коэффициент, равный сумме (j+k)-тых степеней всех значений аргументов. Для их ручного вычисления удобно к исходной таблице данных добавить еще 
столбцов. 
– числовые значения в правой части системы линейных алгебраических уравнений, для подсчета которых тоже
удобно к исходной таблице данных добавить еще n столбцов.
Демонстрацию метода наименьших квадратов проведем для данных с количеством точек в таблице, равным 4. Максимальная степень аппроксимирующего многочлена для такого набора равна 3, так как должно выполняться соотношение: 
. Для максимальной степени аппроксимирующий и интерполяционный многочлены равны.
Пусть таблица данных после добавления в нее дополнительных колонок выглядит следующим образом:
В нижней строке размещаем итоговые суммы по каждой колонке.
Система уравнений для полинома третьей степени:
Решив систему, найдем: 
Эта же таблица без добавления чего-либо позволяет найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена второй степени. Для этого достаточно в системе для полинома третьей степени убрать 4-е уравнение, а из остальных уравнений исключить слагаемые с неизвестной 
. В результате система уравнений для полинома второй степени будет:
Решив систему, найдем: 
Аналогично можно уменьшать число уравнений для построения аппроксимирующих многочленов первой и нулевой степеней.
На рисунке 1 показаны графики двух аппроксимирующих многочленов второй и третьей степени. Многочлен третьей степени проходит через 4 заданные точки, а многочлен второй степени проходит сквозь множество заданных точек с минимумом суммы квадратов отклонений от них, что хорошо видно на графиках.
Рисунок 1.
Литература
1. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы: Учеб. пособие. – М.: Наука, 1987. – 600 с.
2. Воеводин В.В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. - М.: Наука, 1966. – 248 с.
3. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры. – М.: Наука, 1977. – 304 с.
4. Волков Е.А. Численные методы. – М.: Наука, 1987. – 248 с.
5. Калашников В. И. Аналоговые и гибридные вычислительные устройства: Учеб. пособие. – Харьков: НТУ “ХПИ”, 2002. – 196 с.
6. Вержбицкий, В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высш.шк., 2001. 383 с.
7. Волков, Е. А. Численные методы. СПб.: Лань, 2004. 248 с.
8. Мудров, А. Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. Томск: МП "РАСКО", 1991. 272 с.
9. Шуп, Т. Е. Прикладные численные методы в физике и технике. М.: Высш. шк., 1990. 255 с.
10. Бахвалов, Н. С. Численные методы в задачах и упражнениях / Н. С. Бахвалов, А. В. Лапин, Е. В. Чижонков. М.: Высш. шк., 2000. 192 с.
Похожие работы
... ; u +1) её наилучшие приближения En [F;-1,+1] обыкновенными многочленами имеют заданный порядок (n-1 )? При каких ограничениях на непрерывную периодическую функцию f (x) её наилучшее приближение En[f] тригонометрическими полиномами имеют заданный порядок (n-1 )? Подстановка u=cos(x) сводит задачу 1 к задаче 2. Достаточно, следовательно, рассматривать ...
... при построении итерационных методов решения уравнения =0. Например взяв за корень линейного интерполяционного алгебраического многочлена, построенного по значениям и в узле или по значениям и в узлах и , приходят соответственно к методу Ньютона и метода секущих , где - разделенная разность функций для узлов и . Другой подход к построению численных методов решения уравнения ...
... она одновременно проходила через все точки. Поскольку приближенное уравнение изгиба пружинистого бруса имеет вид , то можно допустить, что ее форма между узлами есть алгебраический полином 3-й степени. Вероятно, интерполирующую функцию между каждыми двумя узлами можно взять, например, в таком виде: (*) . Неизвестные коэффициенты ai, bi, ci, di найдем с условий в узлах интерполяции. ...
... Writeln(‘Федеральное агентство по образованию'); GoToXY(22,3); Writeln('Тульский государственный университет'); GoToXY(28,4); Writeln('КАФЕДРА РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ'); GoToXY(14,8); Writeln('Интерполяция функции одной переменной методом Ньютона.'); GoToXY(27,9); Writeln('Построение графика полинома.'); GoToXY(34,12); Writeln('Вариант #7'); GoToXY(24,17); Writeln('Студент гр. 220371 ...
0 комментариев