Интерполирование и приближение функций

Міністерство освіти і науки України

Національний технічний університет

“ХАРКІВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ”

Кафедра “Обчислювальної техніки та програмування”

Реферат з курсу “Численные методы”

Тема: “ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ И ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ”

Виконав: студент групи

Перевірив:

Харків

Содержание

1. Разделенные разности

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

3. Интерполяционный многочлен Ньютона

4. Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Литература

1. Разделенные разности

Часто экспериментальные данные функциональной зависимости представляются таблицей, в которой шаг по независимой переменной не постоянен. Для работы с таким представлением функции конечные разности и конечно-разностные операторы не пригодны. В этом случае первостепенную роль играют разделенные разности.

Разделенную разность функции f(x) для некоторых двух точек  и  определяют следующей дробью:

Для построения степенного многочлена, проходящего через заданные точки, необходимо иметь число точек на единицу больше, чем степень многочлена. Согласно определению разделенной разности число их для n точек равно числу сочетаний из n по 2. Это во много раз больше, чем необходимо для построения кривых, проходящих через n точек. Из опыта работы с конечными разностями видно, что разделенных разностей из всего множества достаточно выбрать всего n, но выбрать так, чтобы в их образование входили все (n+1) точек таблицы.

Вполне разумно вычислять разделенные разности только для соседних значений функции в таблице. В этом случае говорят об упорядоченных разделенных разностях. Аргументу табличной функции присваиваются индексы из чисел натурального ряда, начиная с нуля, в результате чего обозначения разделенных разностей для i-той строки таблицы будут .

Повторная разность от разделенной разности есть разделенная разность второго порядка:

В общем случае разделенная разность n-го порядка имеет вид:

2. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Произведения из скобочных сомножителей в знаменателе каждого слагаемого напоминают своим видом некий степенной многочлен от переменной , который своими корнями имеет значения , исключая . Многочлен от x с корнями в этих же точках, включая и , будет иметь вид:

Удаляя тот или иной сомножитель из , можно по желанию исключить ненужный нуль многочлена. Если взять i-тое слагаемое без  из выражения для разделенной разности n-го порядка и умножить его на , в котором отсутствует сомножитель , то многочлен степени n будет обладать следующими свойствами:

Если умножить  на , то полученный многочлен степени n будет проходить через точку с координатами  и будет равен нулю во всех точках . Сумма таких многочленов по всем  определяет интерполяционный многочлен Лагранжа степени n.

.

3. Интерполяционный многочлен Ньютона

Интерполяционный многочлен в форме многочлена Лагранжа не удобен в случаях, когда необходимо добавлять экспериментальные данные в таблицу с целью повышения точности интерполяции. При этом необходимо проводить все вычисления заново.

Если задачу поставить так, что добавление лишней точки требовало бы лишь добавки некоторого многочлена степени (n+1) к многочлену Лагранжа n-й степени, то эту добавку можно искать, выполнив в общем виде преобразование разности двух многочленов Лагранжа: степени (n+1) и n. Несложные преобразования приводят к следующему соотношению для добавочного многочлена степени (n+1):

 ,

где – многочлен степени (n+1),

 – разделенная разность (n+1)-го порядка.

Если считать разделенную разность нулевого порядка равной значению функции  в точке , то

Поступая аналогичным образом и находя последовательно , в конце концов, получим общее выражение для другой формы представления интерполяционного многочлена Лагранжа, которая в литературе называется интерполяционным многочленом Ньютона для неравных интервалов и записывается так:

Надо отметить, что дополнительную точку в таблицу необходимо записывать в самую нижнюю строку таблицы, чтобы не нарушить уже имеющегося упорядочения разностей и ускорить вычисление новых.

И, наконец, надо отметить, что и многочлен Лагранжа, и многочлен Ньютона удобны для вычислений, но после раскрытия скобок и приведения подобных дают один и тот же степенной многочлен.