Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3

1. Таким образом, в вышерассмотренных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3,

Уравнение (1)  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. 1-я часть «Утверждения 1» (для Условий 1(начало), 2 (начало) и 3) доказана.

*********

 

Часть вторая (Утверждения1)

Возможны случаи: либо , либо .

(Об «Исключении» из общего правила)

 

Доказательство

 

Условие 1 (продолжение).

Всего случаев 16. Два из них рассмотрели в 1-й части Утверждения 1 (Случаи «-» и «+»).

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки.

 

Пояснение.

Случаев всего 14, когда перед С, В, N и К в решениях уравнения (15) стоят разные знаки и число их равно числу Р перестановок из m = 4 элементов (c, b, n и ) по n = 1; 2; 3 элементов (плюсов (+) перед С, В, N и К) в каждом (по n = 0; 4 элементов ( Р = 1+1 = 2 ) мы уже рассмотрели - это 2 случая: Случаи «-» и «+» соответственно):

 

********

 

Случай 1.

 

 (16)

 (17′)

 (18)

 (19)

Тогда сумма имеет вид:

  

Учитывая (14) и (19), можно получить разность :

 => .

Выразим из (25) и (26) :

 

 =>

 => .

По условию  должны быть взаимно простыми целыми числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

 , , а их сумма .

Т.к. из (8) , то  => .

Из (19) с учетом (29) выразим :

, т.е. .

Т.о., , , т.е.

,

выражения которых, с учетом (33), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b:

 , т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35), получим  => .

Теперь, с учетом (38),можно получить окончательное выражение для с (из (34)):

, т.е. .

 

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19), в конечном счете имеет следующие решения:

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

 

Случай 2

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39), (37), (38) и (33), т.е.

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

 

Случай 3

 (16)

 (17′)

 (18)

 (19′).

 Тогда сумма имеет вид:

 

 

Учитывая (14) и (19′), можно получить разность :

- =>  (26′).

Выразим из (25) и (26′) :

 =>

 => .

 

По условию  должны быть взаимно простыми целыми нечетными числами, поэтому их общий множитель .

Т.о.,  имеют вид:

  (30′), (31′), а их сумма .

Т.к. из (8) , то  => .

Из (19´) с учетом (29) выразим :

, т.е.  (33´).

Т.о., , ,

где ,

т.е.  (34´),  (35´), выражения которых, с учетом (33´), полностью совпадают с (9) и (10).

Теперь, с учетом (17′) и (18), найдем сумму :

т.к. , т.е. .

(Здесь чередование «плюса» и «минуса» такое же, как и у единицы в (29). В последующих действиях мы это учтем).

Теперь, учитывая (32), получим значение для b:

, т.к. из (29) вытекает .

Итак, .

Учитывая (35´), получим  =>  ().

Теперь, с учетом (), можно получить окончательное выражение для с (из (34´)):

, т.е.  (39´´).

Таким образом, уравнение  (15), решениями которого являются (16), (17′), (18) и (19´), в конечном счете имеет следующие решения:

 (39´´),  (38´´), где - взаимно простые нечетные

,  (33´), целые числа.

 

********

 

Случай 4

Нетрудно догадаться, что если бы у уравнения (15) были бы решения, противоположные по знаку с решениями (16), (17′), (18) и (19´), мы бы получили, в конечном итоге, решения, противоположные по знаку решениям (39´´), (37), (38´´) и (33´), т.е.

 

 (39´´´),  (38´´´),  (37´),  (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

 

*******

Подведем некоторый итог. Нами рассмотрено 4 случая решений уравнения (15).

Ранее мы обозначили правые части уравнений (16),…, (19) буквами С, В, N, К, т.е

= С

= В

 = N

 = К

Тогда эти первые 4 случая следующие:

1. (16)  2. (16´)  (39´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (18´)  (38´)

(19)  (33) (19´)  (33´)

3. (16)  (39´´) 4. (16´)  (39´´´)

(17´)  (37) (17)  (37´)

(18)  (38´´) (18´)  (38´´´)

(19´)  (33´) (19)  (33)

*********

Рассмотрим еще 10 случаев.

5. с = С 6. с = - С 7. c = C 8. c = - C

b = - B b = B b = - B b = B

n= - N n = N n = - N n = N