Работа Скворцова Александра Петровича,

учителя, ветерана педагогического труда

 

Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма


Содержание

 

Общее утверждение

Утверждение 1

Доказательство Части первой «Утверждения 1»

Доказательство Части второй «Утверждения 1»

Пример

Примечание

«Вывод» о Великой теореме Ферма (простое)

Утверждение 2

Доказательство Части первой «Утверждения 2»

Доказательство Части второй «Утверждения 2»

Примечание

Окончательный «Вывод» о Великой теореме Ферма

Утверждение 3

Доказательство Части первой «Утверждения 3»

Доказательство Части второй «Утверждения 3»

Примечание

Общий вывод

Литература


Доказательство нижеприведённого «Утверждения» осуществлено элементарными средствами. В данной работе рассматриваются уравнения , частными случаями которых являются уравнения Ферма , где а – чётное число,  и  - целые числа, , ,  - =натуральные числа.

Метод, используемый в этой работе, опирается на применение дополнительного квадратного уравнения  и его общего решения, чётность которого совпадает с числами, исследуемыми в моей работе.

Этот метод позволяет:

1.         Судить о возможности существования целых решений уравнения Ферма для , т.е. о возможности существования «Пифагоровых троек», т.к. при рассуждениях никаких «противоречий» не возникает (доказательство этого в данной работе не приведено).

2.         Судить об отсутствии решений в попарно взаимно простых целых числах уравнения , где  - натуральное число, а – чётное число, т.к. при рассуждениях возникают «противоречия» (доказательство этого в данной работе не приведено, но дан пример на стр. 33).

3.         Судить о возможности существования частного решения уравнения  при (или b = ±1, или c = ±1), которое входит в п. «Исключения» моего общего «Утверждения». И такие решения следующие:

а) b = ±1; c = ±3; a = 2.

б) b = 3; c = ±1; a = -2 («Пример» на стр. 33).

4. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения , где а – чётное число. Это хорошо известный факт в теории чисел (доказательство этого в данной работе приведено).

5. Судить о неразрешимости в целых числах и уравнения Ферма . Это тоже хорошо известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

6. Судить о неразрешимости в целых числах уравнения Ферма , где  - натуральное число. Это тоже уже известный факт в теории чисел (в данной работе это утверждение является следствием более общего утверждения).

**********

Так как данное доказательство «Общего Утверждения» в этой работе проведено мною элементарными средствами, то думаю, и своё «Утверждение» великий Ферма вполне мог доказать подобным методом.

И последнее. Я думаю, что специалистам, наверное, известны ещё некоторые конкретные примеры (частные случаи уравнения ), подпадающих под доказываемое в данной работе «Общего Утверждения». Если такие примеры имеются, то в свою очередь это будет являться дополнительным подтверждением правильности выбранного пути доказательства вышеназванного «Общего Утверждения».

 


ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ, частным случаем которого является Великая теорема Ферма

 

1. Уравнение  (, - натуральные числа) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

2. Но есть и «исключение» из данного утверждения: среди этих чисел ,  и  может быть либо , либо .

 

***********

Чтобы доказать «ОБЩЕЕ УТВЕРЖДЕНИЕ», необходимо рассмотреть 2 случая

для показателя q:

1)  при  - натуральном;

2)  при  - натуральном, а для этого достаточно рассмотреть случай .

Утверждение 1, частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для простого показателя

Часть 1

Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.


Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

 

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем называть «исключением» из общего правила.

*********

 

Часть первая (Утверждения 1)

 

Уравнение  (, - натуральные числа, где  при  - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и  таких, чтобы  - было четным,  и  - нечетными целыми числами.

 

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для  - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение  разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах ,  и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и  не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:


 (2),

где  - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных,  - простом.

********

 

Примечание

То, что  - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

 - сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

 - сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени  - простой можно доказать, что при и  нечетных

(3)  - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть  (4),

где  - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

 (5),

где  - четное число, которое можно представить в виде

 (6),

где  - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

 (4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е.  (7), где  - целое число (),  - натуральное число.

 Сумму же нечетных чисел  и  обозначим через , т.е.

 (8),

где  - целое число (, т.к.  и  - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

 =>  =>  

Откуда (11) - нечетное число при - нечетном и  - четном, т.к. , причем (12)  (явно) при .

********

 

Вывод:

На основании (8) и (11) имеем: (13)  - нечетное число;

из соотношений (7) и (12) имеем: (14)  (явно) при .

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму квадратов чисел c и . Учитывая соотношения (9) и (10), получим:

Таким образом, получили следующее уравнение:

 (15),


где  - целые числа, которые, являясь решениями уравнения (15), в свою очередь, могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

 

(16)  - нечетное число при  - нечетном;

(17)  - нечетное число при  - нечетном;

(18)  - нечетное число при  - нечетном;

(19)  - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать

t =0 и r=0 (при t =0  и - четные из (16) и (17), при r=0 = 0 (из (19)) => а = 0 (из (6)), что противоречит нашему допущению).

 

*******

 

Примечание.

Общий вид уравнения (15) следующий:

(20) ,

целыми решениями которого (это известный факт в теории чисел) являются:

(21) ;

(22) ;

(23) ;

(24) , где  - целые числа.


То, что (21), …, (24) являются решениями уравнения (20), легко проверяется их подстановкой в данное уравнение (20), которое при этом превращается в тождество.

*******

Для простоты обозначим правые части уравнений (16), …, (19) буквами С, В, N, К, т.е.

 

= С

= В

 = N

 = К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (16), …, (19) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие 1.

 

Условие1 (начало).

 

с = С

b = B

n = N

 

Случай «+».

(16+) = С - нечетное число при  - нечетном;

(17+) = В - нечетное число при  - нечетном;

(18+) = N - нечетное число при  - нечетном;

(19+)  = К - четное число.


Казалось бы, все в порядке: четность  в (16+), …, (19+) совпадает при -нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (13) и (14) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.5)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 1», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (16+) и (17+):

 

,

т.е.  пропорционально 4, откуда следует, учитывая (13) в «Выводе» (стр.5), !

Т.е., вопреки «Выводу», в Случае «+»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18+)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16+) и (17+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых  решений.

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.


*******

Казалось бы, 1-я часть «Утверждения 1» доказана. На самом деле у уравнения (15)  есть еще решения. Нетрудно догадаться, что решениями уравнения (15) являются следующие выражения n, :

Случаи «+» и «-».

(16±) ;

(17±) ;

(18±) ;

(19±) .

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (16±), …,(19±) стояли только «плюсы» (Случай «+»)

 

******

 

Случай «-».

(16-) ;

(17-) ;

(18-) ;

(19-) .

 

Случай, когда перед теми же скобками стоят только «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному Случаю «+».

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этом Случае «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (18-)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в (16-) и (17-)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в Случае «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

 

Вывод. Следовательно, уравнение (1) в данном Условии 1(начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

*******

 

Примечание.

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

Т.к. уравнение (15) симметрично для с и b (для уравнения (15) они равнозначны), то с и b могут обмениваться не только знаками «+» и «-», но и своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять же перед теми же скобками стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с = B

b = С

n = N

 

«Новые» случаи «+» и «-».

(16´±) c =± В

(17´±) b =±С

(18±) =± N

(19±) =±К

И в этом случае сумма  пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.5)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-»  является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (18±)) при -четном.

Однако, если  - четное, то  (в ((16´±) и ((17´±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа  - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.


*******

 

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

*******

 

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев (пояснение ниже), рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом во 2-ой части данного Утверждения 1.

********

 

Уравнение (15) симметрично и для n и для  (для уравнения 15 они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством n и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых n и  меняются своими выражениями (N и К )).

 

Условие 3

 

c = C

b = B

n = К

N


« Похожие» случаи «+» и «-».

(16±) с = ± С = ± ()

(17±) b = ± В =± ()

(18´±) n = ± К = ± ()

(19´±)  = ± N= ± ()

Согласно одному из Выводов (формула (14))  (явно) при . Но это возможно, глядя на (19´±)  = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (16±) и (17±) c и b – четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

 

*******

 

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же  = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение следует)), мы придем к прежнему результату: c и b – четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********


Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых  отличных от нуля числах.

 

********

 

Пояснение (почему не надо в Условии 3 затрагивать «новые свойства »).

Запишем Условия (1, …, 3).

 

Условие 1 Условие 2 Условие 3 Условие 2+3

с = С с = B c = C c = B

b = B b = С b = B => b = C

n = N n = N n = К n = К

   

 

Если теперь поменять обозначения между собой в Условии 2+3 с на b, а b на c

в верхних двух строчках и n на , а  на n в нижних двух строчках, то вернемся снова к обозначениям в Условии 1, которое во 2-й части «Утверждения 1» нами будет исследовано до конца:

 

Условие 2+3 Условие 1

c = B b = B с = С

b = C => с = С => b = B

n = К  n = N

 n = N

Вывод.


Информация о работе «Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 82482
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 0

Похожие работы

Скачать
53049
2
0

... , что возможно, наша цивилизация подойдет к концу прежде, чем удастся доказать Великую теорему Ферма. Доказательство Великой теоремы Ферма стало самым ценным призом в теории чисел, и поэтому не удивительно, что поиски его привели к некоторым наиболее захватывающим эпизодам в истории математики. В эти поиски оказались вовлеченными величайшие умы на нашей планеты, за доказательство назначались ...

Скачать
36552
0
0

... Декарт в первую очередь идеолог: он основатель философской школы, он формирует понятия, совершенствует систему буквенных обозначений, но в его творческом наследии мало новых конкретных приемов. В противоположность ему Пьер Ферма мало пишет, но по любому поводу может придумать массу остроумных математических трюков (см. там же “Теорема Ферма”, ”Принцип Ферма”, ”Метод бесконечного спуска Ферма”). ...

Скачать
23465
6
0

... Z 12 30 (15) При рассмотрении вопроса о Пифагоровых тройках не было целью составление таблиц этих троек. Ибо целью этой статьи является показ возможностей алгоритма решения Диофантовых уравнений. Решение уравнения Каталана Уравнение данного вида получается при попытке решения гипотезы Биля. Поэтому решение данного уравнения является как бы леммой гипотезы Биля. Ответ будет ...

Скачать
83706
0
1

... ) и теория диофантового приближения (раздел теории чисел, в котором изучаются приближения нуля значениями функций от конечного числа целочисленных аргументов). 2.6. Теон и Гипатия Учеными, завершившими цикл математиков Александрийской школы, были Теон (IV в.) и его дочь Гипатия (370—415). Теон проделал большую работу, комментируя труды Евклида и Птолемея. Что же касается Гипатии, то, по отзывам ...

0 комментариев


Наверх