Поведения системы в условиях малых колебаний

3. Поведения системы в условиях малых колебаний

  3.1 Положения равновесия механической системы и их устойчивость

Для определения положения равновесия механической системы воспользуемся выражением для потенциальной энергии системы, которое было выведено нами во втором разделе курсовой работы (см. п. 4):

 (3.1.1)

Найдем возможные положения равновесия системы. Значение обобщенных координат в положениях равновесия есть корни системы уравнений:

Решая систему уравнений, получаем два возможных положение равновесия:

.

Для оценки устойчивости полученных положений равновесия определим обобщенные коэффициенты жесткости. Найдем все вторые производные потенциальной энергии (3.1) по обобщенным координатам:

Для первого положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:

Воспользуемся критерием Сильвестра:

Для второго положения равновесия обобщенные коэффициенты жесткости равны:

Воспользуемся критерием Сильвестра:

Таким образом, система принимает единственное устойчивое положение равновесия при:  

3.2 Частоты главных колебаний. Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Для нахождения частот и форм главных колебаний, выпишем полученные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости в положении устойчивого равновесия, при: .

 

В положении равновесия:

 (3.2.1)

Запишем дифференциальные уравнения малых колебаний механической системы:

Составим характеристическое уравнение:

Или в развернутом виде:

Найдем корни характеристического уравнения, подставляя в уравнение найденные значения обобщенных коэффициентов инерции и жесткости:

Определим коэффициенты форм колебаний:

Таким образом, движение рассматриваемой системы при собственных колебаниях будет происходить по следующему закону:

 (3.2.2)

 

3.3Уравнения движения материальной точки и твердого тела при колебаниях

Найдем значения постоянных интегрирования системы уравнений (3.2.2) для следующих начальных условий:

Решая систему уравнений, получим:

 

С учетом полученных значений постоянных интегрирования запишем окончательный вид уравнений колебаний:

Список использованной литературы

1.   Авраменко А.А., Архипов В.В., Асланов В.С., Тимбай И.А. Динамика точки и механической системы. – Самара: СГАУ. – 2001. – 84 с.

2.   СТП СГАУ 6.1.4. – 97. Общие требования к оформлению учебных текстовых документов: методические указания.