Производная функции

2. Производная функции

В рассмотренных выше задачах различные физические величины вводились с помощью некоторого предела одного и того же вида. Поэтому имеет смысл рассмотреть предел для функции в общем случае.

Определение. Пусть задана функция f(x), x Є(a; b), и пусть х₀ – некоторая точка интервала (a; b). Предел  называется производной функции f(x) в точке x₀ и обозначается f ′ (x₀). Таким образом, по определению:

f ′ (x₀) =

Функция, имеющая производную в некоторой точке, называется дифференцируемой на этом интервале. Операция нахождения производной данной функции называется дифференцированием и обозначается с помощью штриха.

Если ввести приращение аргумента х = х – х₀ и приращение функции f = f(x) – f(x₀) = f(x₀ + x) – f(x₀), то производная функции f(x) в точке x₀ запишется в виде:

f ′ (x₀) =

Часто для обозначения производной вместо штриха используется символ .

Так как х₀ – произвольное значение аргумента, то будем обозначать его просто Х. Тогда:

f ′ (x) =

Возвращаясь к рассмотренным выше задачам, можем теперь сказать, что искомые величина мгновенной скорости движения V(t) является производной от соответствующей функции:

V(t) = x ′ (t)

3. Физический и геометрический смысл производной.

Дадим геометрическое истолкование производной. Пусть кривая К является графиком непрерывной функции у = f(x), x Є [a; b] (рис. 2). На кривой К рассмотрим точки М₀(х₀; у₀) и М₁(х₁; у₁) и проведем секущую М₀М₁. Ее угловой коэффициент k = tg равен:

Пусть теперь , т.е. абсцисса точки М₁ стремиться к абсциссе точки М₀, оставаясь на кривой К. При этом секущая М₀М₁, вообще говоря, меняет свое положение, вращаясь вокруг точки М₀, т.е. изменяет угол .

 ) Если функция f(x) дифференцируема в точке х₀, то существует предел:

 =

и следовательно, существует прямая М₀Т, являющаяся предельным положением секущей при приближении точки М₁ по кривой к М₀. Эта прямая называется касательной к кривой К в точке М₀.

Таким образом, если функция у = f(x) дифференцируема в точке х₀, то ее график имеет касательную в точке М₀(х₀; f(x₀)), угловой коэффициент которой равен . Сказанное позволяет дать следующее геометрическое истолкование производной: производной функции у = f(x) в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке М₀(х₀; f(x₀)).

4. Вычисление производной на основе ее определения.

Исходя из определения производной сформулируем следующее правило нахождения производной функции в точке:

Чтобы вычислить производную функции f(x) в точке x₀ нужно:

1) Найти f(x) - f(x₀);

2) составить разностное отношение ;

3) вычислить предел разностного отношения при :

.

5. Непрерывность дифференцируемой функции.

Сформулируем и докажем необходимое условие существования производной.

Теорема: Если функция f(x) имеет производную в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Согласно условию теоремы функция f(x) в точке x₀ дифференцируема, т.е. существует предел:

Используя свойство предела, запишем это равенство в следующем виде:

,

где . Домножим равенство на (х – х₀), находим, что дифференцируемая в точке x₀ функция представима в окрестности этой точки в виде:

,

где . Переходя к пределу при  в равенстве получаем:

.

Последнее означает непрерывность функции f(x) в точке x₀.

Замечание. Из доказанной теоремы легко усмотреть, что если функция не является непрерывной в некоторой точке, то она в этой точке не имеет производной.

Таким образом непрерывность в точке – необходимое условие дифференцируемости в точке. Далее заметим, что непрерывность функции в точке не является достаточным условием существования производной этой функции в рассматриваемой точке, т.е. из непрерывности функции в точке не следует ее дифференцируемость в этой точке.

Методика проведения урока.

Захожу в кабинет, здороваюсь с учащимися.

Начинается вводная часть урока.

I. Вводная часть: