Основні елементарні функції та їх графіки
Перетворення графіків функцій
Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
Неперервність функції. Дослідження функції на неперервність
Похідна складеної та оберненої функції
Диференціювання неявної функції та функції, заданої параметрично
Логарифмічне диференціювання
Диференціал функції
Монотонність функції. Екстремум функції
Знаходження найбільшого і найменшого значень функції
Навигация
Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
Вивчення диференціального числення функцій однієї та багатьох змінних в умовах модульно-рейтингової системи
34055
знаков
1
таблица
17
изображений
4. Для всіх основних елементарних функцій у довільній точці їх визначення справедлива рівність
5. Якщо 
то 
якщо 
то 
6. Якщо 
то 
7. Якщо 
то 
8. Якщо 
при 
, то 
9. Якщо 
при , то 
10. Якщо змінна величина 
зростаюча при і обмежена при 
, то вона має границю 
.
Порівняння двох нескінченно малих функцій одного й того самого аргументу х при характеризується наступними означеннями й теоремами.
Нескінченно малі функції 
і 
називаються нескінченно малими одного порядку при , якщо 
дорівнює кінцевому числу 
.
Якщо 
, то називається нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з .
Якщо 
, то і називаються еквівалентними нескінченно малими, й пишуть 
.
Якщо 
то називається нескін-ченно малою порядку Р у порівнянні з нескінченно малою .
1. Границя відношення двох нескінченно малих функцій не зміниться, якщо ці нескінченно малі замінити величинами, їм екві-валентними.
2. Щоб дві нескінченно малі функції були еквівалентними, необхідно й достатньо, щоб їх різниця була нескінченно малою більш високого порядку в порівнянні з кожною з них.
Якщо 
при 
, то справедливі такі еквівалентності:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
При обчисленні границь найчастіше використовують деякі важливі формули:
— перша важлива границя;
; 
— друга важлива границя,
де е — ірраціональне число, е = 2,718281...
Наслідки з важливих границь1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Обчислення границь зводиться до підстановки в даний вираз граничного значення аргументу. Якщо при цьому одержуємо неви-значені вирази вигляду 
то знаходження границь у цих випадках називається розкриттям невизначеності.
Для розкриття невизначеності, перш ніж перейти до границі, необхідно перетворити даний вираз.
Невизначеність виду 
Щоб розкрити невизначеність виду , треба чисельник та знаменник дробу поділити почленно на найвищий степінь змінної.
Приклад 1. Знайти границю:
а) 
.
б) 
.
в) 
.
г) 
Невизначеність виду 
Якщо чисельник та знаменник дробу поліном, що перетворюється в нуль при 
, для розкриття невизначеності чисельник та знаменник треба поділити на 
.
Приклад 3. Обчислити:
а) 
.
б) 
Приклад 4. Знайти границі:
Розв’язання. Безпосередня підстановка числа 
під знак границі приводить до невизначеності 0/0. Перетворимо вираз, розклавши чисельник і знаменник на множники і скоротивши на 
:
Невизначеність виду 
Невизначеність виду перетвореннями приводиться до виду 
та 
.
Приклад 5.
а) 
б) 
Невизначеність виду 
Невизначеність виду розкривається за допомогою другої стандартної границі.
Приклад 6.
а) 
б) 
в) 
Приклади обчислення границь за допомогою еквівалентних нескінченно малих:
а) 
.
б) 
.
. 
Похожие работы
... мов полягає в наявності сформованої іншомовної комунікативної компетенції,яка входить до складу когнітивно-технологічного компоненту. 2. Компонентно-стурктурний аналіз професійної компетентності вчителя іноземних мов Професійна компетентність учителя синтезує в собі, по-перше, загальні вимоги до педагога як до особистості, по-друге, особливості його професійно-педагогічної діяльності, по-трет ...
... єнню студентами навчальної програми. Система розрахована на студентів з різним рівнем підготовки і допомагає кожному з них зайняти своє місце у суспільстві та набути високу професійну кваліфікацію. 1.5 Педагогічний процес у ВНЗ МВС Франції Сучасна система вищої освіти Франції, яка склалася в процесі історичного розвитку, нині включає: університети з традиційною системою факультетів і пі ...
... ів є актуальною, оскільки на її основі реально можна розробити формувальні, розвивальні та оздоровчі структурні компоненти технологічних моделей у цілісній системі взаємодії соціальних інститутів суспільства у формуванні здорового способу життя дітей та підлітків. На основі інформації, яка отримана в результаті діагностики, реалізується методика розробки ефективних критеріїв оцінки інноваційних ...
... українського народу. Україна на шляху суверенного розвитку: суспільно-політичні трансформації. Формування політичних партій. “Партія влади” та опозиція, їх вплив на громадсько-політичне життя в Україні. Соціальна політика в контексті нових реалій. Культура, освіта та наука в умовах функціонування суверенної держави. Українська церква та проблеми духовного відродження нації. Партійне життя. ...
0 комментариев