Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда

2. Неподвижная точка единственна тогда и только тогда, когда

, то есть (10)

3. Неподвижных точек бесконечно много тогда и только тогда, когда выполняется условие что равносильно системе

(11)

Возьмём условие неподвижности точки:  (12)

 и рассмотрим два случая:

1)   Пусть с≠0, тогда умножим (12) на с, получим: . Воспользовавшись системой (11), получим равенство:

, (13)

где коэффициенты при z и  сопряжены, а свободный член является действительным числом, следовательно, равенство (13) при условии (11) задаёт прямую неподвижных точек.

2) Пусть теперь с=0, тогда (12) представится в виде . Выразим отсюда z: , откуда  Приравняем правые части и получим равенство , что равносильно условию . Поделим на z≠0, в результате чего получим  . То есть условие (11) задаёт прямую неподвижных точек (12), которая называется осью аффинного преобразования. Если такая прямая есть, то аффинное преобразование называется родством.

Если а=1, то  - единственная неподвижная точка, и аффинное преобразование называется центроаффинным.

Если b=0 и c≠0, то аффинное преобразование является параллельным переносом.

Если b=0 и c=0, то аффинное преобразование является тождественным.

7.2. Двойные прямые аффинных преобразований

Найдём условие, при котором прямая при аффинном преобразовании (2) перейдёт сама в себя, то есть будет являться инвариантом аффинного преобразования.

Возьмём уравнение прямой (3), которая при аффинном преобразовании перейдёт в прямую . Для того, чтобы прямая (3) перешла сама в себя, необходимо выполнение следующих условий:  где R. (14) Преобразуем первые два равенства системы (14) к виду  Приравняем теперь первые два равенства и после преобразования получим:  представим первое равенство системы в виде совокупности двух условий  теперь эту систему можно представить как совокупность двух систем  (15) Рассмотрим каждую систему полученной совокупности отдельно.

1) Первая система совокупности приводится к виду и теперь уже она может быть представлена в виде совокупности двух систем  Отметим, что если для прямой (3) выполняется первая система, то нет и самой прямой (3). Решая вторую систему, также получим, что нет самой прямой (оба коэффициента равны нулю). Таким образом получили, что первая система совокупности (15) не имеет решений.

2) Рассмотрим вторую систему совокупности (15) . Выразим из второго равенства системы коэффициент q и воспользуемся тем, что (из второго равенства (14)), тогда рассматриваемая система будет выглядеть следующим образом:

(16)

Преобразуем отдельно каждое равенство системы (16).

А) Первое равенство системы после некоторых преобразований примет вид , откуда  и выполнение этого условия является очевидным, следовательно, первое равенство системы (16) ничего существенного нам не давало.

Б) Рассмотрим теперь второе равенство, преобразуем его правую часть , тогда полученное соотношение на коэффициенты прямой (2): (17) является условием того, что прямая (3) - двойная прямая аффинного преобразования (2).

Докажем, что если для коэффициентов прямой (3) p и q верно равенство (17), то она является двойной прямой аффинного преобразования с коэффициентами a, b, c и определителем .Возьмём прямую . При аффинном преобразовании с коэффициентами a, b, c она перейдёт на прямую . Покажем, что будут выполняться равенства  где k – коэффициент пропорциональности. Найдём k из последнего равенства системы . Подставим вместо q его выражение через коэффициенты аффинного преобразования и коэффициент р, упростим выражение и получим . Очевидно, что при таком k верны и два первых уравнения системы, следовательно, прямая является двойной, что и требовалось доказать.

Глава II. Частные виды аффинных преобразований в сопряжённых комплексных координатах §1. Преобразование подобия

Преобразованием подобия (или подобием) называется преобразование, которое каждые две точки P и Q отображает в такие две точки P’ и Q’, что P’Q’=k·PQ, где k - постоянное действительное положительное число, называемое коэффициентом подобия. [2]

Введём в рассмотрение аффинное преобразование (2). Рассмотрим неколлинеарные точки M(z), P(p), Q(q) и их образы M’(z’), P’(p’), Q’(q’) при некотором аффинном преобразовании (2). Преобразование подобия задаётся тремя парами точек M"M’, P"P’, Q"Q’ так, что треугольник M’P’Q’ подобен треугольнику MPQ.

Существует два рода преобразований подобия. Подобие первого рода сохраняет ориентацию каждого отображаемого треугольника, а подобие второго рода отображает каждый треугольник в треугольник, противоположно ориентированный с ним. Рассмотрим теперь подобие каждого рода отдельно.

I.              Пусть MPQ и M’P’Q’ – одинаково ориентированные подобные треугольники, тогда выполняются равенства , где .

Рассмотрим равенство , откуда , тогда . Обозначим второе слагаемое как , получим равенство, задающее преобразование подобия первого рода:

, где . (18)  

II.           Рассмотрим теперь подобные и противоположно ориентированные треугольники MPQ и M’P’Q’. Для них верны равенства: , где . Рассмотрим равенство , преобразуем его к виду , тогда можем выразить z’: , обозначим второе слагаемое за ρ, тогда получим равенство, которым задаётся преобразование подобия второго рода , где  (19)

  §2. Преобразование родства 2.1. Понятие преобразования родства

Родство – аффинное преобразование, имеющее прямую неподвижных точек. Его задаёт формула :

 , где , , (20)

Осью этого преобразования является прямая , примем её за действительную ось Ох: [1]. Тогда очевидно, что с=0 и b=1-a. Поэтому преобразование (20) с действительной осью записывается формулой:

, где  (21)

 

Рис. 2

Выясним особенности этого преобразования. Перепишем его следующим образом (22) составим из этого выражения и сопряжённого к нему выражения пропорцию . Откуда , а это является условием того, что векторы с координатами  и  перпендикулярны. Так как а-1 – постоянные вектор, а z и z’ – координаты соответственных точек М и М’ при аффинном преобразовании (рис. 2), то все прямые, соединяющие точки М и М’ будут параллельны между собой и параллельны некоторому вектору с координатой (а-1)i, называемому направлением аффинного преобразования, в данном случае – родства.

Если (а-1) – чисто мнимое число (то есть  , откуда ), то направление родства будет коллинеарно оси родства. В этом случае аффинное преобразование называется сдвигом вдоль прямой и условия, которые его задают, имеют вид , , (23)

Если же направление аффинного преобразования не совпадает с направлением его оси, то оно называется сжатием к прямой и его задают следующие условия: , ,  (24)

2.2. Сжатие и его частные виды

Найдём собственные числа λ преобразования сжатия (24) из условия . Составим систему из этого условия и сопряжённого к нему выражения : . Чтобы найти собственные числа, нужно решить уравнение , откуда получим  и .

Примем без доказательства следующую теорему [1]: если λ – собственное действительное число аффинного преобразования, то множество точек, каждая из которых делит в отношении  отрезок, соединяющий точку с её прообразом, есть двойная прямая этого преобразования.

Рис. 3

Очевидно, что прямые MM’ и NN’ (рис. 3) являются двойными прямыми и λ₂– действительное число, то точка Р делит отрезок MM’ в отношении , то есть . Число =δ называется коэффициентом сжатия. Если а – действительное число, то направление сжатия перпендикулярно его оси и сжатие называется прямым (ортогональным) сжатием.

Рассмотрим частный случай сжатия – косую симметрию [1]. Это инволютивное преобразование, то есть оно тождественно преобразованию, обратному ему. Преобразование, обратное (24), имеет формулу:

(25)

Оно имеет ту же ось, что и (24). Равенство преобразований (24) и (25) имеет место тогда и только тогда, когда , откуда , то есть а – чисто мнимое число. Таким образом, формулой (24) при условии  задаётся косая симметрия с действительной осью. В этом случае коэффициент сжатия равен , следовательно, ось косой симметрии делит пополам каждый отрезок, соединяющий соответственные точки. Косая симметрия – аффинное преобразование второго рода, так как его определитель отрицателен.

Если а=0, получаем осевую симметрию относительно действительной оси. Осевая симметрия – аффинное преобразование также второго рода ().

2.3. Сдвиг

Выясним, как перемещается по плоскости точка при сдвиге (рис.4). Рассмотрим равенство (22), возьмём модули обеих частей этого равенства

(26)

и посмотрим, чем является каждый модуль в (26).

Рис. 4

 - это расстояние от точки М(z) до её образа M’(z’) при аффинном преобразовании.  - это модуль постоянного вектора, перпендикулярного направлению сдвига, а  - это расстояние от М(z) до точки с координатой, сопряжённой z, равное удвоенному расстоянию от точки M(z) до действительной оси Ох.

Преобразуем правую часть (26):  , (27) тогда из (22) и (27) следует, что при сдвиге каждая точка M(z) смещается параллельно его оси на расстояние , пропорциональное расстоянию  от этой точки до действительной оси. Коэффициент пропорциональности этих расстояний  называется коэффициентом сдвига.

Найдём собственные числа преобразования сдвига из уравнения, составленного аналогично тому, как составляли для сжатия: , откуда найдём . Значит, преобразование сдвига имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.

Определитель преобразования сдвига  строго больше нуля, поэтому сдвиг – аффинное преобразование первого рода.

§3. Эллиптический поворот

Эллипс – это образ окружности при аффинном преобразовании. [1]

Рассмотрим ортогональное сжатие g к действительной оси.

Его задают условия: (28)

а обратное к нему аффинное преобразование g^-1 имеет формулу: , где , откуда в силу (28) обратное преобразование имеет вид:  (29)

При ортогональном сжатии окружность перейдёт в эллипс (рис. 5). Коэффициент рассматриваемого сжатия равен , тогда .  и  называются большой и малой осями эллипса при . Найдём уравнение этого эллипса. Для этого в уравнении окружности заменим z на правую часть (29), получим: , тогда . Преобразовав данное равенство, получим: , откуда получаем уравнение эллипса .

Рассмотрим две произвольные точки окружности N и N₁. Точку N можно перевести в точку N₁ поворотом h на некоторый угол  вокруг точки О: , где , , .

Y

P N₁

N

M

K M₁

C O D X

Т

Q

Рис. 5

Пусть точки М и М₁ – образы точек соответственно N и N₁ при ортогональном сжатии g. Тогда точку М можем перевести в точку М₁ следующим образом:

1)  (преобразование, обратное ортогональному сжатию);

2)  (поворот вокруг точки О на угол );

3)  (ортогональное сжатие).

Тогда , где . Найдём формулу преобразования f.

1.   Сначала найдём формулу преобразования : .

2. Найдём формулу для преобразования f: , откуда получаем  - это формула эллиптического поворота.

Проверим, будет ли определитель рассматриваемого преобразования не равен нулю. Преобразуем выражение определителя

, используя равенство , тогда получим, что . Следовательно, определитель преобразования не равен нулю, и f является аффинным преобразованием, что и требовалось доказать.

Так как определитель рассматриваемого аффинного преобразования положителен, то эллиптический поворот – это аффинное преобразование первого рода.

Это преобразование имеет единственную неподвижную точку О, значит оно является центроаффинным. При этом преобразовании каждая точка М плоскости (М≠О) переходит в другую точку, которая принадлежит соответствующему эллипсу. Этот эллипс при рассмотренном преобразовании переходит сам в себя. Преобразование с объявленными свойствами называется эллиптическим поворотом.

Выясним, имеет ли эллиптический поворот инвариантные пучки параллельных прямых. Для этого найдём дискриминант характеристического уравнения этого преобразования. Комплексные координаты векторов  при аффинном преобразовании (2) переходят в коллинеарные им векторы  по формуле , откуда получаем уравнение . Решая его, получим характеристическое уравнение . Найдём (), его значение равно , тогда характеристическое уравнение запишется в виде: . Его дискриминант  отрицателен (так как ). Следовательно, f – аффинное преобразование с единственной неподвижной точкой О и не имеющее инвариантных пучков параллельных прямых, то есть эллиптический поворот – эквицентроаффинное преобразование.

Формулу (29) эллиптического поворота можно записать в виде системы условий:  Эту формулу можно представить иначе: , то есть эллиптический поворот является композицией сжатия к действительной оси  и подобия первого рода  с центром в точке О.

§4. Параболический поворот

Покажем, что параболу можно перевести в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига. Пусть М – произвольная точка параболы П с осью l (рис. 6), примем эту ось за действительную. Произведём сдвиг с этой же осью l: , где ,  . Этот сдвиг переведёт точку М в точку М₁ и параболу П – в параболу П₁. Параболы П и П₁ равны с точностью до сдвига.

	П1

 Рис. 6

Теперь произведём параллельный перенос параболы П₁: (), где . Тем самым, парабола П₁ перейдёт в параболу П, а точка М₁ перейдёт в точку М’ параболы П.

Таким образом получили, что парабола переходит в себя при преобразовании её с помощью композиции сдвига и параллельного переноса, не параллельного оси сдвига [1,3]. Это преобразование называется параболическим поворотом и имеет формулу  , где , , (30)

Определитель найденного преобразования . Так как определитель отличен от нуля, параболический поворот является аффинным преобразованием, а так как он больше нуля, - аффинным преобразованием первого рода.

Найдём собственные числа параболического поворота аналогично тому, как делали это для других рассмотренных аффинных преобразований. Найдём собственные числа λ из условия . В процессе нахождения приходим к характеристическому уравнению , но так как , характеристическое уравнение примет вид , откуда . Следовательно параболический поворот имеет только один инвариантный пучок параллельных прямых, параллельных оси сдвига.

  §5. Представление аффинных преобразований композициями их частных видов

Выше мы имели целый ряд примеров аффинных преобразований. Мы знаем также ряд свойств, которыми обладают все аффинные преобразования. Найдём общую конструкцию, позволяющую получить любое аффинное преобразование. Такая конструкция указывается следующей теоремой:

Любое аффинное преобразование может быть представлено в виде композиции родства и подобия.

Докажем это утверждение. Любое аффинное преобразование имеет формулу (2) вида , где . Вспомним формулы родства и подобия. Родство задаётся равенством , где , а подобие -  или . Преобразуем формулу (2) аффинного преобразования следующим образом: , её можно представить как:

 . (31)

Очевидно, что выражение в скобках задаёт родство, а коэффициенты (a+b) и c являются коэффициентами преобразования подобия.

Выясним, сохраняет ли аффинное преобразование вида (31) ориентацию плоских фигур. Внешнее преобразование (31) сохраняет ориентацию, поэтому найдём определитель внутреннего преобразования: . Очевидно, что если преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель  положителен и определитель внутреннего преобразования композиции также положителен (тогда и композиция преобразований (31) сохраняет ориентацию плоских фигур). В противном случае– если отрицателен, то и преобразование (31) также меняет ориентацию плоских фигур на противоположную.

Таким образом, мы представили произвольное аффинное преобразование (2) в виде композиции родства и подобия первого рода. Но возможно представить (2) и в виде композиции родства и подобия второго рода, тогда (2) примет вид

. (32)

Внешнее преобразование полученной композиции – подобие второго рода – меняет ориентацию плоских фигур на противоположную. Рассмотрим внутреннее преобразование. Его определитель равен . Если исходное преобразование (2) сохраняло ориентацию плоских фигур, то его определитель положителен, тогда определитель внутреннего преобразования композиции (32) отрицателен и оно меняет ориентацию плоских фигур, но так как внешнее преобразование также меняет ориентацию, то всё преобразование (32) сохраняет ориентацию плоских фигур. В противном случае, если исходное преобразование (2) меняло ориентацию, то есть имело отрицательный определитель, внутреннее преобразование имеет положительный определитель и ориентации не меняет, а в композиции с подобием второго рода меняет ориентацию плоских фигур.

Следовательно, любое аффинное преобразование можно представить в виде композиции родства и подобия, что и требовалось доказать.

Библиографический список

1.   Понарин Я.П. Алгебра комплексных чисел в геометрических задачах: Книга для учащихся математических классов школ, учителей и студентов педагогических вузов. – М.: МЦНМО, 2004

2.   Скопец З.А. Геометрические миниатюры / Сост. Г.Д. Глейзер. – М.: Просвещение, 1990

3.   Яглом И.М., Ашкинузе В.Г. Идеи и методы аффинной и проективной геометрии. Часть 1. Аффинная геометрия. М.: - Учпедгиз, 1962