КОНКРЕТНІ ПРИКЛАДИ ВИЗНАЧЕННЯ РЕОЛОГІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

5. КОНКРЕТНІ ПРИКЛАДИ ВИЗНАЧЕННЯ РЕОЛОГІЧНИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Для апроксимації експериментальних даних аналітичною залежністю, як правило, використовують метод найменших квадратів. Розглянемо цей метод на прикладі апроксимації реологічною кривою. Нехай для ряду значень  отримано шляхом вимірювань ряд значень . Припустимо, що залежність  від  виражається лінійною функцією , і знайдемо такі значення  і , щоб сума квадратів відхилень від вибраної функції в експериментальних точках була мінімальна.

Позначимо середньоквадратичне відхилення

 (42)

і знайдемо min, розглядаючи  як функцію  і . Це приводить до системи рівнянь

; . (43)

Підставляючи в цю систему вираз для  і розв’язуючи стосовно  і , отримуємо:

; (44)

.

Для апроксимації експериментальних даних степеневої функції зручно застосовувати наступний підхід. Логарифмуючи залежність , отримуємо

або (45)

T = k₁ + nГ,

де Т = ; ; Г = .

Якщо маємо виміряних значень  і , то можна записати

; (46)

;

.

Приклад 1

Знайти реологічну криву  розчину за наступними даними, які отримані на ротаційному віскозиметрі (=0.9).

Таблиця 1- Вихідні дані для розрахунку

	1	2	4	8
	5.5	9.5	18	28

Розв'язання

Згідно із (3) і (4) маємо

;

.

Підставляючи показання віскозиметра, отримуємо значення , що наведені в табл. 2.

Таблиця 2 - Результати розрахунку  і

,	9.53	19.06	38.12	76.24
, Па	4.98	8.6	16.29	25.34

Ці дослідні дані показані точками на рис. 5. Апроксимуємо експериментальні дані спочатку лінійною залежністю  і знайдемо  і  за допомогою методу найменших квадратів. Для цього попередньо підрахуємо такі суми:

9.53 + 19.06 + 38.12 + 76.24 = 142.95,

= 4.98 + 8.6 + 16.29 + 25.34 = 55.21,

=4.98·9.53+8.6·19.06+16.29·38.12+25.34·76.24 =2764.27,

 = 9.53² + 19.06² + 38.12² + 76.24² = 7719.78.

За формулами (44) знаходимо:

Па·с,

Па.

Таким чином,

 (47)

Результати розрахунку за формулою (47) наведені в табл. 3, а графічне зображення - прямою 1 на рис. 5.

Таблиця 3 – Результати розрахунку за формулою (47)

	9.53	19.06	38.12	76.24
, Па	5.83	8.69	14.41	25.84

Визначимо середньоквадратичне відхилення

= (4.98 – 5.83)² + (8.6 – 8.69)² + (16.29 –

-14.41)² + (25.34 – 25.84)² = 4.52.

Аппроксимуємо експериментальні дані степеневою залежністю. Результати розрахунку  і  наведені в табл. 4.

Таблиця 4- Значення параметрів  і

	0.77	0.94	1.16	1.41
	0.98	1.28	1.58	1.88

Визначимо такі суми:

= 0.77 + 0.94 + 1.16 + 1.41 = 4.28,

= 0.98 + 1.28 + 1.58 + 1.88 = 5.72,

 = 0.98² + 1.28² + 1.58² + 1.88² = 8.63,

 = 0.77·0.98 + 0.94·1.28 + 1.16·1.58 + 1.41·1.88 =6.44.

За формулами (46) знаходимо:

,

,

.

Таким чином,

 . (48)

Результати розрахунку за формулою (48) наведені в табл. 5, а графічне зображення - кривою 2 на рис. 5.

Таблиця 5 – Результати розрахунку за формулою (48)

	9.53	19.06	38.12	76.24
	5.63	9.21	15.07	24.65

Визначимо середньоквадратичне відхилення

= (4.98 - 5.63)² + (8.6 – 9.21)²+

+ (16.3 – 15.084)² + (25.3 – 24.65)² = 2.76.

 

Таким чином, у розглядуваному випадку степенева залежність краще апроксимує експериментальні дані, ніж лінійна залежність.

Приклад 2

Визначити реологічну криву рідини за даними Q i , отриманими на капілярному віскозиметрі.

Таблиця 6 – Вихідні дані для розрахунку

	0.98	5.9	11.8	18.2
, Па	2.5	10.5	18.3	26

Розв'язання

Застосовуючи інтерполяційну формулу Лагранжа, знаходимо зв'язок між  і :

.

Підставляючи цей вираз в (16), знаходимо

=

.

Підставляючи у формулу дані віскозиметра, знаходимо . Результати розрахунку наведені в табл. 7.

Таблиця 7 - Розрахунок швидкості зсуву

	2.5	10.5	18.3	26
	4.24	24.83	49.15	73.91

Ці результати показані точками на рис. 6. Апроксимуємо дані табл. 7 спочатку лінійною залежністю  і знайдемо  і  за допомогою методу найменших квадратів. Для цього попередньо обчислюємо такі суми:

= 4.24 + 24.83 + 49.15 + 73.91 = 152.13,

= 2.5 + 10.5 + 18.3 + 26 = 57.3,

= 2.5·4.24 + 10.5·24.83 + 18.3·49.15 + 26·73.91=

= 3092.42,

= 4.24² + 24.83² + 49.15² + 73.91² = 8512.92.

За формулами (44) знаходимо

Па,

= 0.335 Па·с.

Таким чином

. (49)

Результати розрахунку за формулою (49) наведені в табл. 8, а графічне зображення - прямою 1 на рис. 6.

Таблиця 8 – Результати розрахунку за формулою (49)

,	4.24	24.83	49.15	73.91
, Па	3.01	9.91	18.06	26.35

Визначимо середньоквадратичне відхилення

 = (2.5 – 3.01)² + (10.5 - 9.91)² +

+ (18.3 – 18.06)² + (26 – 26.35)² = 0.778.

Апроксимуємо експериментальні дані степеневою залежністю. Результати розрахунку  і наведені в табл. 9.

Таблиця 9 – Значення параметрів  і

	0.398	1.021	1.262	1.415
	0.627	1.395	1.692	1.869

Визначимо такі суми:

= 0.627 + 1.395 + 1.692 + 1.869 = 5.583,

= 0.398 + 1.021 + 1.262 + 1.415 = 4.096,

 = 0.627² + 1.395² + 1.692² + 1.869² = 8.695,

 = 0.398·0.627 + 1.021·1.395 +

+ 1.262·1.692 +1.415·1.869 = 6.454.

За формулами (46) знаходимо

,

,

.

Таким чином

 (50)

Результати розрахунку за формулою (50) наведені в табл. 10, а графічне зображення - кривою 2 на рис. 6.

Таблиця 10 – Результати розрахунку за формулою (50)

	4.24	24.83	49.15	73.91
	2.49	10.57	18.46	25.76

Визначимо середньоквадратичне відхилення

(2.5 – 2.49)² + (10.5 – 10.57)² +

+ (18.3 – 18.46)² + (26 – 25.76)² = 0.088.

Таким чином, у розглядуваному випадку степенева залежність краще апроксимує експериментальні дані, ніж лінійна залежність.

Приклад 3

Визначити реологічну криву гірської породи, виходячи з даних дослідів на одноосне стиснення.

Таблиця 11 - Вихідні дані для розрахунку

	1.2	4.1	13	25
	1.8	2.5	3.5	5.2

Визначимо такі суми:

 (1.8 + 2.5 + 3.5 +5.2)·10⁵ = 13·10⁵,

(1.2 + 4.1 + 13 + 25)·10^-8 = 43.3·10^-8,

 (1.8·1.2 + 2.5·4.1 + 3.5·13 + 5.2·25)·10^-3=

=187.91·10^-3,

= (1.2² + 4.1² + 13² + 25²) = 812.25·10^-16.

За формулами (44) знаходимо:

^,

^.

 

Використовуючи формулу (36), маємо

 . (51)

Тоді за (35):

 .

Таким чином отримали реологічне рівняння

. (52)

Результати розрахунку за формулою (51) наведені в табл. 11, а графічне зображення - прямою 1 на рис. 7.

Таблиця 11 – Результати розрахунку за формулою (51)

	1.2	4.1	13	25
	1.92	2.32	3.54	5.19

Визначимо середньоквадратичне відхилення

(1.8 – 1.92)² + (2.5 – 2.32)² + (3.5 –

-3.54)² + (5.2 – 5.19)² = 0.0485.

Апроксимуємо експериментальні дані степеневою залежністю (39). Результати розрахунку  і  наведені в табл. 12.

Таблиця 12 – Значення параметрів  і

	-7.921	-7.387	-6.886	-6.602
	5.255	5.3985	5.5441	5.716

Визначимо такі суми:

 = 5.255 + 5.3985 + 5.5441 + 5.716 = 21.9136,

= -7.921 – 7.387 – 6.886 – 6.602 = -28.796,

= 7.921² + 7.387² + 6.886² + 6.602² = 208.313,

 = -5.255 · 7.921 – 5.3985 · 7.387 – 5.5441 · 6.886 –

-5.716 · 6.602 = -157.417.

За формулами (46) знаходимо:

,

,

.

Використовуючи формулу (39), маємо

. (53)

Результати розрахунку за формулою (53) наведені в табл. 13, а графічне зображення - кривою 2 на рис. 7.

Таблиця 13 – Результати розрахунку за формулою (53)

	1.2	4.1	13	25
	1.72	2.6	3.83	4.77

 

Згідно з формулами (41) маємо:

,

.

Реологічне рівняння (40) має вигляд

. (54)

Визначимо середньоквадратичне відхилення

(1.8 – 1.72)² + (2.5 – 2.6)² + (3.5 – 3.83)² +

+(5.2 – 4.77)² = 0.31.

У даному випадку модель в’язкопластичної рідини краще апроксимує реологію гірської породи, ніж модель степеневої рідини.

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

1.  Шищенко Р.И., Есьман Б.И., Кондратенко П.И. Гидравлика промывочных жидкостей. – М.: Недра, 1976.- 294 с.

2.  Леонов Е.Г., Исаев В.И. Гидроаэромеханика в бурении.- М.: Недра, 1987. – 300 с.

3.  Астарита Дж., Марручи Дж. Основы гидромеханики неньютоновских жидкостей. - М.: Мир, 1978.