Использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы

2.3. Использование алгебраического критерия Рауса - Гурвица для анализа устойчивости системы

 

Для анализа устойчивости и определения критического коэффициента передачи прямого канала усиления системы в функции kму рассматриваемой системы с помощью алгебраического критерия устойчивости Рауса-Гурвица воспользуемся детерминантами D₄ и D₂, рекомендуемые Льенара – Шипара, так как характеристическое уравнение имеет пятый порядок.

а) детерминант D₂:

 

 

б) детерминант D₄.

 

 

 

Как видим, детерминант ∆₂ > 0, а ∆4 при коэффициенте передачи магнитного усилителя kму = 11,186980560011235894 равен нулю, т.е. система находится на грани устойчивости. Следовательно, критический коэффициент передачи магнитного усилителя равен kмукр =11,186980560011235894

Для того, чтобы убедиться что это действительно критическое значение коэффициента магнитного усилителя, определим корни характеристического уравнения для найденного коэффициента магнитного усилителя.

Как видим, характеристический полином имеет пару чисто мнимых корней, следовательно, система находится на грани устойчивости.

2.4 Построение годографов Найквиста по передаточной функции разомкнутой системы заданной в виде полинома

Частотный критерий Найквиста при исследовании устойчивости автоматических систем базируется на амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы и может быть сформулирован следующим образом:

если характеристическое уравнение разомкнутой системы n -го порядка имеет k корней с положительной вещественной частью (k = 0, 1, ….. n ) и n-k корней с отрицательной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы (годограф Найквиста) охватывал точку (-1, j0) комплексной плоскости на угол k π , или что тоже самое, охватывал точку (-1, j0) в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки, k раз.

Для частного случая, когда характеристическое уравнение разомкнутой системы не имеет корней с положительной вещественной частью (k = 0), т.е. , когда она устойчива в разомкнутом состоянии, критерий Найквиста формулируется следующим образом:

система автоматического регулирования устойчива в замкнутом состоянии, если амплитудно-фазовая частотная характеристика разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до ∞ не охватывает точку комплексной плоскости с координатами (-1, j0).

Критерий устойчивости Найквиста удобно применять для систем с обратной связью, особенно систем высокого порядка.

Для построения годографа Найквиста воспользуемся передаточной функцией разомкнутой системы в символьном виде из Практического занятия №5

Запишем ее в символьно-цифровом виде для заданных параметров всех элементов системы, кроме коэффициента передачи магнитного усилителя:

Запишем уравнение амплитудно-фазовой частотной характеристики,, выделим вещественную и мнимые частотные характеристики и построим семейство годографов Найквиста в функции частоты и коэффициента передачи магнитного усилителя.

Построения графика амплитудно-фазовой частотной характеристики в MathСad

Рис.3. Семейство кривых годографа Найквиста, построенный для передаточной функции разомкнутой системы в функции от k_му.

 

Из рис.3 видно, что один из годографов Найквиста проходит через точку с координатами (j0, -1). Следовательно, в заданной области изменения коэффициента передачи магнитного усилителя есть и его критическое значение. Для его определения воспользуемся следующими соотношениями:

Следовательно, критический коэффициент передачи магнитного усилителя есть:

k_мукр =11.186981170416560078

Убедимся, что это действительно так. Для этого построим кривые годографа Найквиста для трех значений коэффициента передачи магнитного усилителя: k_му = 0.6 k_мукр; k_му = k_мукр; k_му =1.2 k_мукр

Рис.4. Кривые годографа Найквиста, построенные для

k_му = 0.6 k_мукр; k_му = k_мукр; k_му =1.2 k_мукр

Кривые рис.4 подтверждают, что критический коэффициент передачи магнитного усилителя найден верно.