Тогда

 = k1 - b^/ и (аb)  = (а(k1+ b^/))(k1- b^/) = k²а - (ab^/)b^/ = k²а + (аb^/)^/.

Так как по доказанному выше:

(аb^/)^/.= (^/,^/)а, то (аb)  = k²a + (b^/, b^/)a = [k² + (b', b')]a = (b, b)a,

так как

(b, b) = (k1+ b^/, k1+ b^/) = k²(1, l) + (b', b')+2k(b', l) = k² + (b', b')

в силу того, что (1, 1) = 1 и (b^/ , 1) = 0, так как b^/ 1.

Следствие 1. В нормированной линейной алгебре  с единипей имеет место равенство

(ах)+(ау)  = 2(х,у)а. (8)

Подставим в тождество (5) вместо b сумму х + y. Тогда

(а(х + у))() = (х + у, х + у)а (а(х + у))(  +) = ((х, х) + (у, у) + 2(х, у))а  (ах)  + (ау) + (ах) + (ау) = (х, х)а+(у, у)а + 2(х, у)а.

В силу тождества (5):

(ax)= (х, х)а, (ау) = (у, у)а.

Тогда:

(ах)  + (ау)  = 2(х, у)а,

что и требовалось доказать.

Следствие 2. Нормированная линейная алгебра  с единицей является альтернативной линейной алгеброй.

Если в равенстве (5) (ab)  = (b, b)a положить а = 1, то получается b = (b, b)l = (b, b). Тогда (ab)  = a(b), откуда следует, что (ab)b = a(bb).

Аналогично можно доказать, что b(ba) = (bb)a.

Отсюда следует, что алгебра  является альтернативной линейной алгеброй.

п. п. 6.2 Теорема Гурвица

Пусть  - линейная алгебра с единицей. Согласно Лемме 1 каждый элемент а А однозначно представляется в виде

а = k1+ а', где k  R и а'  1.

В алгебре  введем операпию сопряжения: элемент, сопряженный элементу а, есть элемент ā = k1- а' Если а = kl, то а' = 0 и ā = k1, т.е. ā = а. Если же а  1, то ā = - а.

Имеют место:

а) ā = а;

б) () = = = (k+l)1-(a^/ + b^/) = (k1 – a^/)(l1 – b^/).

Пусть - подалгебра алгебры ,содержащая 1 и не совпадающая с  .Выберем в В базис 1, i₁, i₂, … i_n, такой, что i₁  1, i₂ 1, … i_n 1. Тогда любой элемент b  B имеет вид: b = bо + b₁i₁ + b₂i₂ + … + b_ni_n, а сопряженный ему элемент b = b₀ - b₁i₁ - b₂i₂ - … - b_ni_n, откуда и  В.

Пусть е - единичный элемент, ортогональный В, т.е. для любого b В имеет место e b.

Рассмотрим множество В + Be = {b₁ + b₂e|b₁, b₂ В}. Покажем, что есть снова подалгебра алгебры .

Лемма 4. Подпространства  и ортогональны друг другу, т.е. для любых u₁, u₂ B имеет место u₁u₂e.

Для доказательства этого факта в тождестве (1) положим вместо

а₁ = u₁, b₁ = u₂, a₂ = e, b₂ = 1.

Тогда

(u₁u₂, e) + (u₁, eu₂) = 2(u₁, e)(u₂, 1).

Так как u₁, u₂ В, то u₁u₂ В, а тогда u₁u₂ e, u₁ e.

Значит,

(u₁, u₂e) = 0, (u₁, e) = 0.

Тогда:

(u₁, u₂e) = 0, т.е. u₁ u₂e.

Теорема 1.

Представление любого элемента из В + Be в виде u₁+ u₂e, где u₁, u₂ В, единственно.

Пусть

u₁ + u₂e = u₁^/ + u₂^/e  u₁ - u₁^/ = (u₂^/ - u₂)e,

откуда следует, что v=u₁ - u₁^/ принадлежит одновременно двум ортогональным подпространствам В и Be. Тогда (v, v) = 0, откуда v = 0. Следовательно, u₁ - u₁^/ = 0 и (u₂^/ - u₂)e = 0. Из второго равенства либо u₂^/ - u₂ = 0, либо е = 0. Но е ≠ 0, следовательно, u₂^/ - u₂= 0. Тогда u₁ = u₁^/ и u₂ = u₂', т.е. представление элемента из В + Be в виде u₁ + u₂e единственно.

Лемма 5. Для любых u, v  А имеет место

(ue)v = (u)e. (9)

Воспользуемся тождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у = . Тогда:

(ue)v + (u)= 2(е, )u.

Так как  е, то

(е, ) = 0 и (ue)v + (u)= 0.

Но  = -е, так как е 1, тогда:

(ue)v + (u)(- е) = 0  (ue)v = (u)e.

Лемма 6. Для любых u, v  A имеет место

u(ve) = (vu)e. (10)

Если в том же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, то получаем:

(1*u)ve + 1*()ū = 2(u, ) * 1  u(ve) + ()ū = 2(u, ).

Так как u  ve, то u  ,  = -ve, в силу того, что из ve  В следует ve