Как возникают аксиоматические теории

1.3. Как возникают аксиоматические теории.

Можно указать два пути, по которым происходило становление тех или иных аксиоматических теорий, известных в математике.

Первый путь состоит в том, что та или иная математическая теория, достигнув достаточно высокого уровня развития, принимает характер аксиоматической теории. Именно таким путём были аксиоматизированы следующие математические теории: арифметика (на основе системы аксиом Дж. Пиано), геометрия (на основе разнообразных систем аксиом, в частности, Д. Гильберта, Г. Вейля, М. Пиери и т.д.), теория вероятностей (аксиоматика А.Н. Колмогорова) и другие.

Второй путь возникновения аксиоматических теорий состоит в том, что обнаруживалось глубокое внутреннее сходство между основными чертами, казалось бы, совершенно различных математических теорий. Данное обстоятельство наводило на мысль выделить общие черты и, руководствуясь ими, построить аксиоматическую теорию. На этом пути возникли, по-видимому, все аксиоматические теории и, прежде всего, теории групп, колец, полей и других алгебраических систем, общая или универсальная алгебра и т.д. Здесь появляется прекрасная возможность взаимопроникновения методов одних математических наук в другие, а также возможность свободно интерпретировать первоначальные понятия и аксиомы аксиоматической теории, что раскрывает широкие перспективы приложений таких теорий и является одним из мощных источников действенной силы математики как науки вообще.

II. ПРИМЕРЫ АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ.

Приведём примеры аксиоматических теорий возникших разными путями.

Пример1. Теория групп – одна из теорий, возникших на втором пути. Было известно не мало объектов, обладающих многочисленными общими чертами. Среди них, в частности, множество F1-1(М) всех взаимнооднозначных отображений множества М на себя, рассматриваемое вместе с операцией суперпозиции отображений, множество Z всех целых чисел, рассматриваемое вместе с операцией сложения целых чисел, множество V2 всех векторов плоскости, рассматриваемое вместе с операцией сложения векторов по правилу треугольника или параллелограмма. Обозначив каждое из этих множеств через G, а каждую из операций через * (и называя её композицией элементов из G), обнаруживаем, что все три указанные объекта обладают следующими свойствами:

G0. Для любых а и в из G композиция а  в есть однозначно определённый элемент из G.

G1. Для любых а и в и с из G (а  в)  с = а  (в  с).

G2. В G имеется такой элемент е, что для любого а из G а  е = е  а = а.

G3. Для любого а из G имеется такой а’ из G, что а  а’ = а’ а = е.

Например, элемент е, существование которого утверждается в свойстве G2, в случае F1-1(М) есть тождественное отображение М на М, в случае Z – целое число 0, в случае V2 – нуль вектор. В свойстве G3 элемент а’ есть обратное преобразование f-1, противоположное число –m, противоположный вектор ВА для преобразования f, целого числа m и вектора АВ соответственно. Утверждения G0 - G3 и составляют систему аксиом теории групп. Из этих аксиом можно выводить разнообразные теоремы и тем самым строить аксиоматическую теорию групп. Докажем несколько теорем этой теории.

Теорема 1. В группе имеется точно один единичный элемент.

Доказательство: Ввиду G2 нужно доказать лишь единственность. Допустим, что в G имеется два единичных элемента –е1 и е2, т.е. на основании G2, для любого ае1=а и ае2= а. Тогда, в частности, е1* е2= е2 и е1* е2= е1. Следовательно, в силу G0 и свойств равенства е1= е2.

Теорема 2. Для каждого элемента группы имеется точно один обратный.

Доказательство: Ввиду G3 остаётся доказать лишь его единственность. Допустим, что в G для элемента а имеется два обратных а’ и а’’, т.е. таких элементов, что а’’  а = е и а  а’ = е. Тогда, в силу G1 (а’’  а)  а’ = а’’ и, следовательно, е  а’ = а’’  е. Отсюда следует, согласно G2, что а’ = а’’.

В мультипликативной терминологии обратный элемент для а обозначается через а-1, так что а-1 а = а  а-1= е, где единственный единичный элемент из G.

Теорема 3. Для любых элементов а, в, с, группы G из а * в = а * с следует в = с, и из в * а = с * а следует в = с.

Доказательство: Пусть а * в = а * с. Тогда а-1 * (а * в)=( а-1 * а) * в = е * в = в. С другой стороны, а-1 * (а * в)= а-1 * (а * с) = (а-1 * а) * с = е * с = с. следовательно, в = с. Пусть в * а = с * а. Тогда (в * а) * а-1= в * (а * а-1) = в * е = в. С другой стороны (с * а) * а-1= с * (а * а-1) = с * е = в. Значит в = с.

Пример 2. Теория конгруэнтности (равенства) отрезков. S множество всех отрезков и  отношение, называемое отношением конгруэнтности, так, что выражение х  у читается так: отрезок х конгруэнтен отрезку у. Выберем в качестве аксиом следующие утверждения:К1. Для всякого х из S х  х.

К2. Для любых элементов х, у, z из S, если х  z и у  z, то х  у.

Докажем теорему.

Теорема 1. Для любых элементов у и z из S, если у  z, то z  у.

Доказательство: По аксиоме К2, подставив z вместо х, получим, что если z  z и у  z, то z  у. Поскольку член конъюнкции z  z истинен на основании аксиомы К1, то из конъюнкции его можно убрать. Получим, что если у  z, то z  у.

Пример 3. Аксиоматическая теория натуральных чисел построена итальянским математиком Дж. Пеано на рубеже XIX и XX веков. Её первоначальными понятиями являются: непустое множество N, бинарное отношение ' и выделенный элемент 1. Аксиомы выбираются следующие:

(Р1) ( х) (х'  1).

(Р2) ( х, у) (х = у  х' = у')

(Р3) ( х, у) (х' = у'  х = у)

(Р4) (Аксиома индукции) (1М ^ ( х)(хМ х'М)) М=N.

Правилами вывода служат обычные логические правила Modus Ponens и правило подстановки.

Приведём доказательства двух теорем, непосредственно вытекающих из этих аксиом.

Теорема 1. ( х) (х'  х)

Доказательство: Рассмотрим множество. М = {х  N: х'  х }. Покажем, используя аксиому индукции (Р4), что М = N.

А) 1М, так как 1' 1 по аксиоме Р1.

Б) Пусть хМ, т.е. х'  х. Тогда, по аксиоме Р3, (х') '  х'. Следовательно, по определению, х' М.

Условия аксиомы Р4 выполнены. Тогда, по аксиоме Р4, М = N. Это и означает, что ( х) (х'  х).

Пример 4. Аксиоматическое построение канторовской («наивной») теории множеств на основе нескольких систем аксиом. Всего рассмотрим три системы аксиом.

Первоначальными понятиями теории Т, являются бинарные операции ,  (пересечение и объединение), унарная операция ' (дополнение), нульарные операции 0 и 1, фиксирующие два различных элемента – нулевой и единичный. Система аксиом 1 этой теории симметрична относительно операций , , 0, 1.

(А1) х  у = у  х.

(А2) х  у = у  х.

(А3) х  (у  z) = (х  у)  (х  z).

(А4) х  (у  z) = (х  у)  (х  z).

(А5) х  1 = х.

(А6) х  0 = х.

(А7) х  х' = 0.

(А8) х  х' = 1.

Первоначальными понятиями второй теории Т2 являются бинарная операция  и унарная операция '. Система аксиом 2 этой теории, наоборот, ассиметрична, «смещена» в сторону операции .

(В1) х  у = у  х.

(В2) (х  у)  z = х  (у  z).

(В3) х  у' = z  z'  х  у = х.

(В4) х  у = х  х  у' = z  z'.

Наконец, в третий теории Т3 , в которой первоначальными понятиями являются бинарное отношение С, бинарные операции  и , унарная операция ' и нульарные операции 0 и 1, система аксиом 3 следующая:

(С1) х  х.

(С2) х  у ^ у  z = х  z.

(С3) х  у  z  х  z ^ у  z.

(С4) z  х  у  z  х ^ z  у.

(С5) х  (у  z)  (х  у)  (х  z).

(С6) х  1.

(С7) 0  х.

(С8) 1  х  х'.

(С9) х  х'  0.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

По результатам проведённого курсового исследования по теме «Аксиоматический метод» можно сделать следующие выводы.

Аксиоматический метод – фундаментальнейший метод организации и умножения научного знания в самых разных его областях – сформировался на протяжении более чем двухтысячелетней истории древней науки. У истоков идеи аксиоматического метода стоят титаны древнегреческой мысли Платон, Аристотель, Евклид.

Особую роль аксиоматический метод играет в математической науке. Хотя математика в наше время и является чрезвычайно обширной наукой знаний, имеющей многочисленные разделы и на первый взгляд разобщённые направления исследования, всё-таки математика – это единая наука. Её предмет исследований множество математических структур, её основной метод – аксиоматический метод. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда ей удаётся пользоваться аксиоматическим методом, т.е. когда наука принимает характер аксиоматической теории. Более того, развитие наук в двадцатом столетии показало, что математика выделяется в системе наук именно тем, что она, по существу, единственная, использующая аксиоматический метод чрезвычайно широко, и что этот метод в значительной мере обуславливает поразительную эффективность математики в процессе познания окружающего мира и преобразующего воздействия на него.

СПИСОК ИСПОЛЬЗУЕМЫХ ИСТОЧНИКОВ

1.Базылев В.Т., Дуничев К.И. Геометрия Учебное пособие для студентов физ.-мат. факультетов пединститутов. - М., «Просвещение» 1975.

2.Игошин В.И. Основания геометрии – Саратов, «Научная книга», 2004.

3.Игошин В.И. Векторная алгебра – Саратов, «Научная книга», 2005.

4.Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории – М., «Просвещение», 1968.

5.Метод аксиоматический – В кн. «Философская энциклопедия», т. 3 – М Сов. Энциклопедия, 1964.