Навигация
Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + √2 + √3
20648
знаков
49
таблиц
6
изображений
9. Написать уравнение с целыми коэффициентами, один из корней которого равен 1 + √2 + √3.
Возникает подозрение, что вместе с этим числом λ1 уравнению с целыми коэффициентами удовлетворяют и сопряжённые, которые в решении предыдущей задачи мы обозначили λ2, λ3, λ4. Нужное уравнение можно записать так:
(x – λ1)(x – λ2)(x – λ3)(x – λ4) = 0;
то есть
(x – 1 – √2 – √3)(x – 1 + √2 – √3)× (x – 1 – √2 + √3)(x – 1 + √2 + √3) = 0;
после преобразований получаем
((x – 1)2 – 5 – 2√6)·((x – 1)2 – 5 + 2√6) = 0, (x2 – 2x – 4)2 – 24 = 0, x4 – 4x3 – 4x2 – 16x – 8 = 0.
Именно такое уравнение получилось бы в качестве характеристического, если бы мы применили упомянутую мелким шрифтом в конце предыдущего раздела общую теорию к исследованию линейного преобразования
(qn; rn; sn; tn) → (qn+1; rn+1; sn+1; tn+1)
в предыдущей задаче. Заметим, кроме того, что мы на самом деле получили уравнение наименьшей степени (с целыми коэффициентами) с корнем λ1 = 1 + √2 + √3. Попробуйте это доказать!
Алгебраическое послесловие
Мы разобрали несколько примеров, в которых затрагивались пограничные вопросы алгебры, математического анализа и теории чисел. (Каждому направлению, которое мы наметили, можно было бы посвятить более подробную статью в «Кванте»!) В заключение покажем ещё, как можно смотреть на основных героев статьи — «сопряжённые числа» — с чисто алгебраической точки зрения.
Предположим, что у нас есть множество P чисел (или выражений с буквами, или ещё каких-то элементов), с которыми можно выполнять четыре действия арифметики с соблюдением обычных арифметических правил. Такое множество называется полем; поля образуют, например, рациональные и действительные числа. Если в поле P не разрешимо, скажем, уравнение x2 – d = 0, то можно расширить его, рассматривая элементы вида p + q√d, где p, q P, a √d — новый символ, который при умножении сам на себя дает d, т.е. √d·√d = d, так что
(p + q√d)·(p' + q'√d) = (pp' + qq'd) + (pq' + qp')√d.
При d = –1 расширением поля вещественных чисел получаются комплексные числа.
В новом поле P1 — «квадратичном расширении» поля P — есть интересное отображение λ = p + q√d → λ = p – q√d (своеобразная «алгебраическая симметрия»), называемое сопряжением, с такими свойствами:
Все элементы старого поля P переходят в себя;
Все равенства, содержащие арифметические операции, при этом отображении сохраняются:
| λ + μ = λ + μ; λ · μ = λ · μ; | (10) |
Это отображение является частным случаем так называемых автоморфизмов Галуа расширения P1 поля P.
В задачах 8 и 9 мы видели пример «двукратного» расширения — присоединения √2 и затем √3, — в результате которого получилось поле с бо́льшим количеством автоморфизмов Галуа: кроме тождественного отображения, их уже три
(√2 → –√2, √3 → √3;√2 → √2, √3 → –√3;√2 → –√2, √3 → –√3),
и их «взаимодействие» устроено так же, как во множестве самосовмещений прямоугольника.
Оказывается, к основному полю можно присоединять корни любого алгебраического уравнения. Автоморфизмы возникающего нового поля — предмет одной из красивейших ветвей алгебры XIX–XX века, теории Галуа, которая позволяет, в частности, исследовать вопрос о разрешимости уравнений в радикалах ([13], [14]).
Мы закончим эту статью набором задач, в основном продолжающих уже затронутые темы, но требующих иногда и новых соображений, и обещанным списком литературы.
Список литературы
1. Л.Курляндчик, А.Лисицкий. «Суммы и произведения» («Квант», 1978, №10). назад к тексту
2. Второе решение задачи М514 («Квант», 1979, №5, с.26). назад к тексту
3. Р.Нивен. «Числа рациональные и иррациональные» (М., «Мир», 1966). назад к тексту
4. Д.Фукс, М.Фукс. «О наилучших приближениях» («Квант», 1971, №6, №11) и «Рациональные приближения и трансцендентность» («Квант», 1973, №1). назад к тексту
5. Н.Васильев, В.Гутенмахер. «Прямые и кривые» (М., «Наука», 1978), с.103–105. назад к тексту
6. А.Н.Маркушевич. «Ряды» (М., «Наука», 1979). назад к тексту
7. Избранные задачи из журнала American Mathematical Monthly (М., «Мир», 1977), с.560–561. назад к тексту
8. Л.Курляндчик, Г.Розенблюм. «Метод бесконечного спуска» («Квант», 1978, №1). назад к тексту
9. В.Березин. «Филлотаксис и последовательность Фибоначчи», («Квант», 1979, №5, с.53). назад к тексту
10. Н.Н.Воробьев. «Числа Фибоначчи» (Популярные лекции по математике, вып.6) (М., «Наука», 1978). назад к тексту
11. А.И.Маркушевич. «Возвратные последовательности» (Популярные лекции но математике, вып.1) (М., «Наука», 1978). назад к тексту
12. Л.И.Головина. «Линейная алгебра и некоторые её приложения» (М., «Наука», 1979). назад к тексту
13. М.М.Постников. «Теория Галуа» (М., Физматгиз, 1963). назад к тексту
14. Ван-дер-Варден. «Алгебра» (М., «Наука», 1976). назад к тексту
Похожие работы
... 3. Соглашение о комплексных числах. 1. Действительное число а записывается также в виде a + 0i (или a – 0i). П р и м е р ы. Запись 3 + 0i обозначает то же, что запись 3. Запись –2 + 0i означает –2. 2. Комплексное число вида 0 + bi называется “чисто мнимым”. Запись bi обозначает то же, что 0 + bi. 3. Два комплекных a + bi, a’ + b’i считаются равными ...
... в сопряжённых комплексных координатах 1.1. Определение аффинного преобразования Введём определение аффинного преобразования евклидовой плоскости в сопряжённых комплексных координатах. Преобразование евклидовой плоскости называется аффинным, если оно отображает каждую прямую на прямую. [1] 1.2. Формула аффинного преобразования Мы хотим построить теорию аффинных преобразований с помощью ...
дним членам так называемой последовательности Фибоначчи: 34 и 55 или 89 и 144. Филлотаксис подсолнечника — одна из многих неожиданных встреч с последовательностью Фибоначчи. Впервые с ней столкнулся в прошлом столетии французский математик Эдуард Люка. Читая книгу «Искусство абака» знаменитого итальянского математика эпохи Возрождения Леонардо Пизанского, известного больше по прозвищу Фибоначчи, ...
... это целый класс реакций окисления органических веществ с участием катализатора, обладающего окислительно-восстановительными свойствами. Этот процесс протекает циклично т. е. состоит из многократных повторений. Колебательные химические реакции были открыты и научно обоснованы в 1951 г. советским учёным Борисом Петровичем Белоусовым. Б.П. Белоусов изучал окисление лимонной кислоты при её реакции с ...
0 комментариев