Задача на разбавление

1. Задача на разбавление.

Из сосуда, наполненного кислотой, вылили несколько литров и долили водой; потом опять вылили столько же литров смеси, тогда в сосуде осталось 24л чистой кислоты. Емкость сосуда 54л. Сколько кислоты вылили в первый и второй раз?

Решение.

Пусть в первый раз вылили х литров кислоты. Тогда в сосуде осталось 54-х литров кислоты. Во второй раз вылили х литров раствора кислоты концентрации

100(54-х)/54%., то есть в этом растворе было х(54-х)/54 чистой кислоты. То есть

х+х=54-24

54х +54х-х² =5430

х² – 108х + 1620 = 0

х₁=90-не удовлетворяет условию задачи

х₂= 18

Следовательно, в первый раз вылили 18л кислоты, во второй раз – 12л.

2. Задача на смешивание. (задача № 491)

Условие приведено на стр.4.

Пусть х – масса 1-го раствора, тогда концентрация его 0,8/х, масса второго раствора 10-х, концентрация второго раствора 0,6/(10-х). Следовательно,

 -  = 0,1

0,8(10-х) – 0,6х = 0,1х(10-х)

х=20- не удовлетворяет условию задачи

х=4

Следовательно, масса первого раствора 4 кг, масса второго раствора 6 кг.

Задачи на банковские проценты:

За хранение сбережений вкладчика и разрешение распоряжаться этими деньгами банк выплачивает вкладчику проценты к хранящейся сумме денег. В зависимости от способа начисления проценты делятся на простые и сложные.

1. Простые проценты.

Увеличение вклада S₀ по схеме простых процентов характеризуется тем, что суммы процентов в течение всего срока хранения определяются исходя только из первоначальной суммы вклада независимо от срока хранения и количества периодов начисления процентов. Пусть вкладчик открыл счет и положил на него S₀ рублей. Пусть банк обязуется выплачивать в конце каждого года р% от первоначальной суммы S_0. Тогда по истечении одного года сумма начисленных процентов составит  руб., и величина вклада станет равной S₁=S₀. Величину р % называют годовой процентной ставкой. Если оставить вклад еще на год, то начисление процентной ставки производится на первоначальный вклад S₀ и не производится на величину. То есть, через n лет сумма начисленных процентов составит П_n =  руб., а величина вклада вместе с процентами составит S_n = S₀ руб. (формула 3). Отношение S_n/S₀ называют коэффициентом наращивания простых процентов.

Пример 1.

Вкладчик открыл в банке счет и положил на него S₀ = 150 000 рублей сроком на 4 года под простые проценты по ставке 18% в год. Какой будет сумма S₄, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращивания?

Решение.

В нашем случае S₀ = 150 000, p = 18, n = 4. По формуле S_n = S₀ ^. ( 1 + n ^. p/ 100 рублей имеем S₄ =150 000 ^. ( 1 + 18 ^. 4 / 100 ) = = 258 000 рублей .

За 4 года вклад увеличился на 108 000 рублей = 258 000 рублей – 150 000 рублей. Коэффициент наращивания по формуле S_n / S₀=1+n ^. p / 100 равен S₄/S₀= 1,72. Он показывает, что за 4 года первоначальный вклад S0 увеличился в 1,72 раза.

Пример 2.

Какую годовую ставку простых процентов выплачивает банк , если вклад 12 000 рублей через 3 года достиг величины 14 160 рублей ? Определите коэффициент наращивания.

Решение.

По условию, S₀ = 12 000, S₃ = 14 160, n = 3. Из соотношения S_n = S_o ^. ( 1 +n ^. p / 1 000 ) рублей имеем p = (S₃ / S₀ – 1 ) ^. 1 000 /n. Подставляем в полученное выражение заданные значения, вычисляем результат: p = 5,(9), т.е. p = 6% . Коэффициент наращивания равен S₃ /S₀ = 1,18.

2. Сложные проценты.

Если проценты начисляются не только на первоначальный вклад, но и на приросшие проценты, то такое начисление называют правилом сложных процентов. Это правило тесно связано с формулой определения концентрации раствора после n переливаний (формула 2).

Мы говорим, что имеем дело со “сложными процентами”, в том случае, когда некоторая величина подвержена поэтапному изменению. При этом каждый раз ее изменение составляет определенное число процентов от значения, которое эта величина имела на предыдущем этапе.

Рассмотрим сначала случай, когда в конце каждого этапа величина изменяется на одно и то же постоянное количество процентов - р%.

Некоторая величина S, исходное значение которой равно S₀, в конце первого этапа будет равна

S₁=S₀+p/100 х S₀ = S₀ (1+p/100) .

В конце второго этапа ее значение станет равным

S₂=S₁+p/100 х S₁ = S₁ (1+p/100) = S₀ (1+p/100)² .

Здесь множитель 1+p/100 показывает, во сколько раз величина S увеличилась за один этап. В предыдущих задачах о концентрациях эту роль играл множитель

1-a/V₀ .

В конце третьего этапа

S₃=S₂+p/100 х S₂ = S₀ (1+p/100)³ ,

и т. д.

Нетрудно понять, что в конце n-го этапа значение величины S определится формулой S_n= S₀ (1+p/100)ⁿ . (формула 4)

Формула (4) является исходной формулой при решении многих задач на проценты.

Пример3. Сберкасса выплачивает 3% годовых. Во сколько раз увеличится величина вклада через 2 года?

Решение. Пусть величина вклада составляет S₀ руб. Тогда через 2 года эта величина станет равной S₂= S₀(1+p/100)² = (1,03)² S₀ = 1,0609 S₀

Ответ. В 1,0609 раза.

Приведем обобщение формулы (4) на случай, когда прирост величины S на каждом этапе свой.

Пусть величина S в конце первого этапа испытывает изменение на p₁%, в конце второго этапа - на р₂%, в конце третьего этапа - на p₃% и т. д. Если p_k>0, то величина S на этом этапе возрастает, если p_k<0, то величина S на этом этапе убывает.

Как говорилось выше, изменение величины S на р% равносильно умножению этой величины на множитель 1+p/100. Поэтому окончательный вид искомой формулы такой:

S_n= S₀ (1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) . (формула 5)

Здесь S₀ - первоначальное значение величины S.

Иногда в задачах на составление уравнений встречается понятие “средний процент прироста”. Под этим термином понимают такой постоянный процент прироста, который за n этапов давал бы такое же изменение величины S, которое она получает в действительности, при неравных поэтапных процентах изменения.

Средний процент прироста q% определяется формулой

S₀ (1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) = S₀ (1+p/100)ⁿ

или q/100=(1+p₁/100) (1+p₂/100)... (1+p_n/100) -1 .

Отсюда видно, что средний процент прироста неравен среднему арифметическому величин p₁, р₂, ..., р_n . Здесь существует полная аналогия с определением известного из физики понятия “средняя скорость движения”.

Пример4. Выработка продукции за год работы предприятия возросла на 4%. На следующий год она увеличилась на 8%. Определить средний ежегодный прирост продукции за этот период.

Решение. Обозначим средний ежегодный прирост продукции через q%. Тогда

(1+4/100) (1+8/100) = (1+q/100)² .

Отсюда находим q =  - 100  5,98

ЗАДАЧИ НА РОСТ ПРОИЗВОДИТЕЛЬНОСТИ

1.Выработка продукции за первый год работы предприятия возросла на р%, а за следующий год по сравнению с первоначальной она возросла на 10% больше, чем за первый год. Определить, на сколько процентов увеличилась выработка за первый год, если известно, что за два года она увеличилась в общей сложности на 48, 59%?

Решение.

За первый год выработка возросла в (1+р/100) раз по сравнению с первоначальной, за второй год – в (1+(р+10)/100)раз по сравнению с началом второго года и в (1+р/100)(1+(р+10)/100) по сравнению с первоначальной и составила 1,4859:

(1+р/100)(1+(р+10)/100) = 1,4859

Отсюда р=17%

2. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найти это число, если известно, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Решение.

Пусть х – процент прироста продукции. Тогда после первого увеличения

Выпуск возрастет в (1+х) раз, после второго – во столько же. То есть

600(1+х)(1+х) = 726

Отсюда х = 10%

3. В оленеводческом совхозе стадо увеличивается в результате естественного прироста и приобретения новых оленей. В начале первого года стадо составляло 3000 голов, в конце года совхоз купил 700 голов. В конце второго года стадо составляло 4400 голов. Определить процент естественного прироста.

Решение.

Пусть х – процент естественного прироста. Тогда в конце 1-го года в стаде станет 3000(1+х/100)+700 оленей. За второй год число оленей увеличится в (1+х/100) раз по сравнению с началом года и станет 4400.

(3000(1+х/100)+700)(1+х/100) = 4400

Отсюда х=10%

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящем реферате рассмотрены методы решения задач, связанных с изменением концентраций, начислением банковских процентов и ростом производительности. Эти задачи решаются по одинаковым алгоритмам. Рассмотрены наиболее типичные задачи, дано их решение.

Кроме того, для создания данного реферата на компьютере был изучен редактор текстов Word. Таким образом, цель реферата – изучение методов решения задач на концентрации и, банковские проценты и рост производитель-ности – достигнута, задачи, поставленные в реферате, выполнены.

Для решения задач, приведенных в настоящем реферате достаточно математического аппарата 8 класса. Однако, ряд задач по рассмотренным вопросам можно решить лишь обладая знаниями математики, получаемыми в старших классах школы. Поэтому целесообразно продолжить тему данного реферата в выпускном классе , тем более, что подобные задачи все чаще встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы.

Список литературы

1. М.В. Лурье, Б.И.Александров “Задачи на составление уравнений”.-М.: Наука, 1976.

2. 3000 конкурсных задач по математике.-М.: Рольф, Айрис-пресс, 1998.

3. Справочник для поступающих в Московский университет в 1995г.-М.: Изд-во Моск. Ун-та, 1995.

4. Математика в школе №№ 4,5 1998г.