Попытки «приручения» бесконечного

2. Попытки «приручения» бесконечного

«Легализация» актуальной бесконечности в тварном мире исторически была тесно связана с обсуждением природы человеческой души. Последняя сотворена, согласно христианской теологии, «по образу Божьему». В какой степени божественные совершенства отразились в человеческой душе? Уже Дунс Скот настаивал, что человеческая душа по своей природе превосходит ту конечность, которая характерна для всего тварного: ведь человеческая душа способна воспринимать божественную благодать, т.е. самого бесконечного Бога. Значит, ей дарована некоторая, адекватная предмету восприятия, бесконечная воспринимающая способность. Еще дальше идут мистики. Экхарт прямо учит о том, что в глубине человеческой души имеется нетварная божественная «искорка». Как соприродная Богу, эта «искорка», естественно, актуально бесконечна. Подобное понимание образа Божьего прокладывало дорогу пантеизму и не раз осуждалось католической церковью. Однако в XV в. кардинал Николай Кузанский развивает свое учение о совпадении абсолютного максимума и абсолютного минимума. В рамках этого учения бесконечное, абсолютный максимум становится «адекватной мерой» всех конечных вещей. Понимание соотношения бесконечного и конечного принципиально меняется по отношению к античному: если для последнего все конечное было актуальным, а бесконечное выступало лишь как потенциальное, то для Кузанца – наоборот, любая конечная вещь выступает как потенциальное ограничение актуально бесконечной божественной возможности – бытия (possest)! Аналогично и в рамках пантеизма Спинозы оказывается, что omnis determinatio est negatio (каждое определение есть отрицание): не через предел, не через ограничение бесформенной материи получают вещи свое бытие, а именно от подлежащей бесконечной божественной субстанции, внутри которой самоопределение выступает как частичная негация. Божественная субстанция – природа имеет бесконечные атрибуты, в том числе протяженность и длительность. Время же, число и мера являются только конечными, или потенциально бесконечными, средствами воображения. В анализе проблемы бесконечного Спиноза предвосхищает подходы к бесконечному у создателя теории множеств Г. Кантора.

Спекулятивная теология Николая Кузанского также служит основанием представлений и о бесконечности Вселенной. Бог является «основанием» мира: то, что содержится в Боге «в свернутом виде», мир «разворачивает» в пространстве и времени. Пространственная протяженность мира и время его существования не могут быть конечными, потому что они «выражают» бесконечность Бога. Хотя мир не является бесконечным в том же смысле, как и Бог, – мир не есть все, что может быть, – тем не менее его привативная бесконечность (не Infinitum, а Indeterminatum) включает в себя бесконечность пространства и времени. Пересмотр Н. Коперником геоцентрической системы и полемический талант Дж. Бруно помогают этому тезису Кузанца стать в высшей степени популярным к XVIII столетию.

На фоне других философов XVII в. В. Лейбниц выступает как наиболее убежденный защитник существования актуальной бесконечности. Тема бесконечности обсуждалась Лейбницем в разных аспектах. Актуально бесконечно, прежде всего, количество субстанций – монад в Универсуме. Каждая часть материи представляет собой также актуально бесконечную совокупность монад. Устойчивость агрегатов этих монад связана с особыми принципами их подчинения и с законом предустановленной гармонии. «Всякую часть материи можно представить наподобие сада, полного растений, и пруда, полного рыб. Но каждая ветвь растения, каждый член животного, каждая капля его соков есть опять такой же сад или такой же пруд» («Монадология», № 67). И эта иерархия вложенных друг в друга миров продолжается у Лейбница до бесконечности. Каждая монада представляет в своих восприятиях весь бесконечный универсум, бесконечный как в пространстве, так и во времени. Это понимание ведет Лейбница в психологии к формулировке концепции бесконечно малых («подсознательных») восприятий. В математике же это приводит к особому пониманию структуры пространственного континуума и, наконец, к созданию дифференциального и интегрального исчислений. Лейбницевские идеи в отношении актуальной бесконечности остаются в высшей степени действенными и по существу непревзойденными все последующие три столетия (см. [3, т. 1], особенно гл. 2). Лейбниц же указал и на характерную аналогию между проблемами свободы и структуры континуума (см. [4, с. 312–314] – «О свободе»). Обе имеют общий логический корень, связанный с актуальной бесконечностью.

Однако Лейбниц хорошо понимал, что овладеть бесконечностью в науке не удается чисто техническими средствами (в отличие, например, от Б. Больцано, надежды которого справиться с бесконечностью чисто формально, в рамках некоторого исчисления, явно усматриваются в его «Парадоксах бесконечного» – см. [5, гл. I, § 5]). Продвижение науки в бесконечное, – как в бесконечно малое, так и бесконечно большое, – требует «интеллектуальной оптики» с бесконечным увеличением, требует метафизики, новых метафизических постулатов. И великий немецкий ученый и философ явно формулирует эти постулаты. Главным здесь является принцип непрерывности Лейбница или, более точно, некоторое конкретное его выражение: принцип законопостоянства. «Принцип же этот состоит в том, что свойства вещей всегда и повсюду являются такими же, каковы они сейчас и здесь», – формулирует этот принцип Лейбниц в письме к королеве Пруссии Софии-Шарлотте (см. [4, т. 3, с. 389]). Принцип этот применяется к бесконечному, т.е. утверждается, что «на бесконечности» все будет происходить так же, как и в конечном. Именно этот постулат позволяет Лейбницу рассматривать «бесконечно малые треугольники» в дифференциальном исчислении в одном ряду с конечными, настаивать на справедливости преформистской доктрины в эмбриологии и утверждать в метафизике существование непрерывной шкалы расположенных в направлении возрастания совершенства монад, идущей от «непробужденных» монад минералов через растения, животных и человека вплоть до высшей субстанции... – до Самого Бога. Принцип законопостоянства, тесно связанный с лейбницевским принципом достаточного основания, как бы «связывает» божественную волю с божественной мудростью и, устанавливая тотальную логическую когерентность мира, не оставляет ни единой возможности для каких-либо онтологических «зияний», будь то случайное событие или чудо...

Новых существенных инициатив в деле «приручения» бесконечности пришлось ждать после Лейбница почти 200 лет. С 1870-х гг. Г. Кантор начинает печатать свои работы по теории множеств. Кантор строит особые бесконечные числа (ординалы) и их арифметику. Основные свои работы он написал в рамках «наивной» теории множеств исходя из представления о самоочевидности основного понятия множества. Однако достаточно быстро выяснилось, что в этом, казалось бы, «самоочевидном» понятии скрыты довольно глубокие проблемы, а в «наивном» подходе к понятию множества – серьезные утверждения о бесконечности, смысл которых при более внимательном рассмотрении оказывается глубоко проблематичным. Аксиоматизация теории множеств выявила эти фундаментальные предпосылки наших построений с бесконечностью, эти постулаты, которые и необходимы нам для «естественного» развития теории и которые в то же самое время остаются в высшей степени загадочными. Одно из таких положений – знаменитая аксиома выбора. Формулировка ее достаточно проста: если дано некоторое (бесконечное) множество множеств, то можно составить новое множество, взяв из каждого данного только по одному элементу. Это, на первый взгляд, простое утверждение при более внимательном рассмотрении оказывается крайне непонятным. Как выбрать один из элементов произвольного множества? Если бы, например, это множество было упорядоченным, то мы могли бы взять наименьший (если он существует) элемент этого множества относительно заданного порядка. Однако процедура упорядочивания множества сама как раз и опирается на аксиому выбора. С другой стороны, как делать эту последовательность выборов во времени? Если не во времени, то как тогда?.. С какого множества мы должны начать?.. (Нетрудно видеть, что здесь опять, как это подчеркивал Лейбниц, выступает связь проблемы бесконечности и проблемы свободы.) Попытки ответить на все эти вопросы сами порождают сложные проблемы. А в то же самое время аксиома выбора необходима для доказательства фундаментального положения теории множеств – сравнимости любых мощностей множеств. Кроме того, аксиома выбора явно или неявно используется во многих положениях математического анализа (лемма Больцано – Вейерштрасса о сходящейся подпоследовательности любой ограниченной последовательности, теорема Коши о конечных приращениях, теорема Лопиталя о раскрытии неопределенностей и т.д.). Поэтому мы вынуждены сохранять эту аксиому в качестве некоторого постулата нашего познания, полностью осознавая нашу «навязчивость» в отношении бесконечного...

Примеров подобной навязчивости история становления теории множеств знает немало. Один из самых знаменитых – это континуум-гипотеза. Г. Кантор очень надеялся и настойчиво стремился доказать, что следующая по величине после мощности множества натуральных чисел a0 идет как раз мощность множества, представляющего собой арифметическую модель континуума (подробнее см., например, [5, гл. 5, § 1]).

2a0 = a1

Однако ни самому Кантору, ни его последователям доказать этого не удалось. В 1963 г. П. Коэн показал, что континуум-гипотезу нельзя ни доказать, ни опровергнуть в рамках теории множеств Цермело – Френкеля... Более того, Коэн склонялся к тому, что мощность континуума больше [6, с. 42], чем любое an для любого n, больше aw и т.д. (w есть первый бесконечный ординал, соответствующий множеству всех натуральных чисел {1, 2, 3,...})... Бесконечное разоблачает наши наивные ожидания, что в нем «все происходит так, как здесь и теперь». В бесконечном слишком много возможностей. И главное, непонятно вообще, как эти возможности можно было бы «учесть», инвентаризировать.