Метод статистических испытаний

1.4 Метод статистических испытаний

Специфическая идеология имитационного моделирования реализуется в методе статистических испытаний (его часто называют методом Монте-Карло). Основная идея метода статистических испытаний состоит в том, что вероятностные характеристики различных сложных случайных процессов, описывающих функционирование систем, могут быть рассчитаны с помощью имитационных моделей даже в тех случаях, когда аналитически это сделать не представляется возможным или затруднительно. Рассмотрим простой пример.

Пусть зависимость условной вероятности продажи  некоторого товара от его цены  описывается соотношением

. (1.32)

Пусть, кроме того, цена продажи – случайная величина, распределенная в соответствии с усеченным нормальным законом с математическим ожиданием  и дисперсией . Тогда безусловная вероятность продажи будет равна

, (1.33)

где

-нормирующая константа.

Полученный интеграл в квадратурах не вычисляется. Вместе с тем, искомая вероятность  может быть легко оценена методом статистических испытаний. Технология расчета  такова.

Кривая  изображена на рис. 1.5.

Здесь абсцисса  выбрана так, чтобы значение  было достаточно малым (например, 0,001), а ордината  равна . Теперь понятно, что расчет  эквивалентен вычислению площади  под кривой  при .

Рис. 1.5 - Кривая .

Пусть в прямоугольнике с координатами вершин (0,0), (0,b), (a,0), (a,b) формируется точка, координаты которой случайны и независимы, причем абсцисса равномерно распределена в , а ордината равномерно распределена в . Ясно, что вероятность попадания этой точки в область под кривой  равна площади под кривой, то есть искомой вероятности . С другой стороны эту вероятность легко оценить, если провести  испытаний, подсчитать количество  попаданий точки в область под кривой и вычислить отношение . Легко показать, что оценка  является несмещенной и состоятельной оценкой . В самом деле, введем индикатор

Очевидно, что .

Вычислим математическое ожидание и дисперсию случайной величины .

. (1.34)

Следовательно, оценка  вероятности  является несмещенной.

.  (1.35)

Так как , то оценка  - состоятельна.

Заметим, что последнее соотношение может быть использовано для расчета числа опытов, необходимых для получения оценок статистических характеристик с заданной точностью.

Действительно, если вероятность какого-либо события нужно оценить так, чтобы дисперсия оценки не превосходила , то требуемое число опытов определяется неравенством .

Таким образом, для расчета искомой вероятности достаточно иметь датчики равномерно распределенных случайных величин.

Эта же технология может быть использована для создания ИМ сложных экономико-организационных систем.

2 Имитационная модель библиотечной системы Обслуживания 2.1 Описание системы обслуживания

В библиотеке ХГЗВА предоставляются информационные услуги. Для читателей установлен 1 компьютер. На этом компьютере читатели могут войти во всемирную сеть Internet, чтобы получить актуальную информацию о конференциях, выставках, обществах, клиниках, магазинах, вузах, колледжах ветеринарного профиля. Также читатели заинтересованы в поиске полнотекстовых документов: научных статей, публикаций законов и т.п.

На этом компьютере можно воспользоваться поиском в электронном каталоге библиотечного фонда ХГЗВА. Данную возможность предоставляет внедренная АИБС “Liber”. Читатель заполняет поисковую форму в соответствии со своими потребностями. Результатом такого поиска является библиографическое описание найденных по запросу книг и их библиотечный шифр.

На компьютере установлен CD-Rom. Это позволяет читателям пользоваться программами обучающего характера.

Данные информационные услуги предоставляются бесплатно. В связи с этим наблюдается большое число желающих воспользоваться данными услугами. На возможность максимального удовлетворения информационных потребностей влияет 5 факторов:

время работы библиотеки;

количество компьютеров, обслуживающих читателей;

количество читателей;

время обслуживания читателя;

время ожидания читателем;

Из перечисленных факторов представляется возможным регулирование количества компьютеров и определение среднего времени обслуживания.

2.2 Сбор и обработка статистических данных о характере обслуживания

Для того чтобы оптимизировать работу данной библиотеки, я вместе с библиотекарями произвел статистическую выборку. В течение 2 недель с понедельника по субботу (12 дней) строго с 8-00 до 17-00 мы записывали следующую информацию о читателях, которые хотели воспользоваться информационными услугами:

время появления;

время обслуживания;

время ожидания;

В результате обработки данных я получил следующие данные о читателях (см. табл.1, 2, 3).

Табл. 2.1 - Появление читателей

Интервал, мин.	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20	22	24	26
Количество, чел.	16	71	92	80	65	59	44	30	21	16	14	9	7

Всего: 524 чел.

Табл. 2.2 - Обслуживание читателей

Интервал, мин.	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65
Количество, чел.	2	4	5	6	8	10	15	17	22	16	9	4	2

Всего: 120 чел.

Табл. 2.3 - Ожидание читателей

Интервал, мин.	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50	55	60	65
Количество, чел.	4	5	6	7	12	16	18	13	9	5	5	2	1

Всего: 103 чел.

Предположим, что функция плотности распределения имеет вид:

 (2.1)

Ясно, что при  получаем обычное распределение Гаусса.

2.3 Статистическая обработка результатов наблюдений

Для оценки параметров распределения по статистическим данным используется метод максимума правдоподобия. При этом функция правдоподобия имеет вид

(2.2)

Непосредственная максимизация функции правдоподобия по  реализуется методом Нелдера-Мида.

Рассчитаем параметры функции плотности распределения появления читателей.

Вершины начального симплекса:

Оптимизируемой функцией является (2.2), где взяты из табл. 2.1.

Критерий останова:

Результат:

Рассчитаем параметры функции плотности распределения обслуживания читателей.

Вершины начального симплекса:

Оптимизируемой функцией является (2.2), где взяты из табл. 2.2.

Критерий останова:

Результат:

Рассчитаем параметры функции плотности распределения ожидания читателей.

Вершины начального симплекса:

Оптимизируемой функцией является (2.2), где взяты из табл. 2.3.

Критерий останова:

Результат:

2.4 Структура ИМ

Исходные данные:

1. Система планирования. Моделируется п - канальная система массового обслуживания. Каналы системы равноэффективны. Известна плотность распределения случайного времени обслуживания заявок - j(t).

2. Входящий поток заявок. На вход системы поступает случайный поток заявок с плотностью распределения случайного временного интервала между заявками y(t).

3. Ожидание в системе. Заявки, поступившие в буфер, ожидают свое обслуживание в порядке очереди некоторое время. Известна плотность распределения случайного времени ожидания заявок - ς (t).

4. Дисциплина обслуживания. Если в момент поступления заявки хотя бы один из каналов системы свободен, поступившая заявка начинает обслуживаться этим каналом. Если в момент поступления заявки свободных каналов нет, то заявка поступает в буфер, емкость которого - М заявок. Заявка, поступившая в момент, когда все п каналов заняты и буфер занят, теряется.

5. Экономические характеристики системы. За каждую поступившую заявку система получает прибыль – С0, за каждую потерянную заявку – платит штраф – С1. Стоимость эксплуатации одного канала в единицу времени Сэ зависит от производительности канала, определяемой средним временем обслуживания одной заявки Тобс по формуле

 Сэ(Тэ) = а0 + а1. (2.3)

Стоимость эксплуатации буфера в единицу времени Сб зависит от его емкости и рассчитывается по формуле

Сб = bМ2/3. (2.4)

При построении имитационной модели будем использовать метод особых состояний. В соответствии с ним сформируем календарь событий, отображаемый таблицей 2.1.

Таблица 2.4 - Календарь событий

№	Тип события	Наименование события	Момент наступления события,	Признак
0	0	Поступление очередной заявки	0	0
1	1	Освобождение 1-го канала	0	1
2	1	Освобождение 2-го канала	0	1
…	…	…	…	…
	1	Освобождение -го канала	0	1
n+1	2	Уход из очереди 1-й заявки	0	1
…	…	…	…	…
n+m	2	Уход из очереди m-й заявки	0	1

В соответствии с логикой работы имитационной модели её алгоритм состоит из трех модулей: модуля 0, реализующего действия, инициируемые поступлением в систему очередной заявки (событие типа 0), модуля 1, реализующего действия, которые необходимо осуществить в связи с освобождением канала (событие типа 1), модуля 2, реализующего действия, которые необходимо осуществить в связи с уходом из очереди m-й заявки (событие типа 2).

Очередность работы модулей определяется координирующим элементом модели, которым является календарь событий. Совокупность операторов, обеспечивающих ввод необходимых для работы модели исходных данных, просмотр календаря и инициирующих действия модулей 0, 1, 2 образует внешний контур модели.

Структурная схема внешнего контура модели представлена на рис. 2.1.

Рис. 2.1 - Блок-схема внешнего контура модели

Работа внешнего контура начинается с ввода исходных данных и настройки.

Исходные данные:

n – число каналов системы;

M – емкость буфера;

N0 – заданное заранее число заявок, которые должны поступить в систему за время её работы;

Е0 = {1, 2,…, n} – массив номеров свободных каналов системы;

Е1 = {0,0,…,0} – массив номеров занятых обслуживанием каналов системы.