Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации

3. Главные напряжения в жидкости. Среднее давление. Обобщённый закон Гука. Связь между тензором напряжений и тензором деформации.

Дальнейшие дополнительные физические допущения будут касаться связи между напряжениями в жидкости и деформациями в ней. Чтобы сделать это допущение наиболее физически наглядным, необходимо сначала свести тензор напряжений и тензор деформаций к такому простейшему виду, при котором число компонент сводится к наименьшему числу.

Для этого необходимо перейти от произвольных координат к главным осям тензоров.

Обозначим главные оси тензора напряжений , ,  и введём следующую таблицу косинусов между произвольными осями ,, и этими главными осями:

Тогда, по доказанному свойству тензорности напряжений, можно выразить все компоненты тензора напряжений  через три главных компонента, которые мы обозначим , , . Выражая старые компоненты через новые, получим:

(19)

где при условии перехода к главным осям:

(20)

поэтому окончательно получаем:

(21)

Такова зависимость компонент тензора напряжений от трёх главных компонент . Эти главные компоненты называются главными напряжениями. Отсутствие напряжений с разными индексами, то есть касательных напряжений показывает, что жидкие площадки, перпендикулярные к главным осям тензора напряжений, подвергаются действию только нормальных напряжений.

Рассмотрим линейный инвариант тензора напряжений:

(22)

Деля обе части на число 3, можно высказать следующее положение: “Среднее арифметическое из трёх нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно перпендикулярным площадкам, в данной точке есть величина одинаковая для любых направлений этих площадок в пространстве; в частности эта величина равна среднему арифметическому трёх главных направлений”.

В дальнейшем эту величину будем называть средним давлением в данной точке вязкой жидкости, или, попросту, давлением и обозначать “”. Знак минус ставится здесь условно, и показывает что в жидкости всегда имеем дело с давлением (а не растяжением), направленным внутрь объёма. Итак, имеем:

(23)

В невязкой (идеальной) жидкости, как известно, давление по всем направлениям одинаково, там все направления - главные, так как нет касательных напряжений. В вязкой же жидкости под давлением приходится понимать среднее из нормальных напряжений, приложенных к трём взаимно-перпендикулярным площадкам.

Из кинематики жидкости известно, что в каждой точке пространства можно указать такие три направления (главные оси тензора деформаций или скоростей деформаций), где частицы, лежащие на этих осях, перемещаются вдоль этих осей, отрезки прямых, расположенных по этим осям, только удлиняются или укорачиваются, но не поворачиваются; при этом бесконечно малые площадки, перпендикулярные главным осям, будут только перемещаться параллельно самим себе и не деформироваться в направлении своих плоскостей. Отсюда вытекает, что главные оси тензора напряжений и тензора деформаций совпадают; при деформации жидкости главные удлинения вызывают соответствующие изменения в главных напряжениях, и, наоборот, отсутствие касательных деформаций (сдвигов) приводит к равенству нулю касательных напряжений.

Для количественных соотношений между компонентами тензора напряжений и тензора деформаций примем классический закон Гука о пропорциональности напряжений и деформаций, только в несколько обобщённом виде. Именно, в отличие от теории упругости, будем выражать зависимость напряжений не от деформаций, а от скоростей деформаций.

Начнём с составления зависимостей между главными направлениями, главными скоростями удлинений и другими главными элементами тензора скоростей деформаций, уже затем напишем зависимости между любыми компонентами обоих тензоров.

Согласно обобщённому закону Гука сделаем следующие предположения:

1.   При отсутствии движения, то есть при равновесии жидкости; жидкость уже сжата (гидростатическое давление), и давление это имеет среднее значение “”.

2.   При движении может иметь место сжимаемость жидкости, это даёт дополнительное давление, пропорциональное скорости относительного объёмного сжатия, то есть “”.

3.   Главная деформация даёт слагаемое напряжение, пропорциональное главной скорости деформаций или главной скорости относительного удлинения; мы обозначим это слагаемое “”. Здесь l и m две постоянные величины, зависящие от свойств жидкости.

При этих предположениях можно написать следующую форму для главных напряжений:

(24)

Если просуммировать обе части этого уравнения по i от 1 до 3, от будем иметь:

(25)

или, замечая, что:  и  найдём:  откуда следует:

(26)

Таким образом, при сделанных предположениях всё сводится к одному коэффициенту m, и равенство (24) принимает вид:

(27)

Желая перейти теперь к вычислению любых (а не только главных) компонентов тензора напряжений, подставим значения  из (27) в равенство (21), тогда получим:

(28)

Первая сумма в равенстве (28) равна 1 или 0, в зависимости от того равняется или не равняется индекс i индексу j. Это компоненты тензорной единицы. Обозначим её так:

(29)

Обратясь ко второй сумме заметим, что её можно представить следующим образом:

(30)

Так как при  слагаемые, заключённые в скобку  всё равно обратятся в нуль, как скорости сдвигов главных осей.

Таким образом в выражениях компонент тензора скоростей деформаций имеем:

Можно переписать (30) в форме:

или по формуле преобразования компонент тензора к другим осям:

(31)

Подставляя выражения сумм из (29) и (31) в формулу (28), получим окончательное выражение для компонентов тензора напряжений:

(32)

или в тензорном виде:

(33)

Здесь волной обозначены тензорные символы. Отсюда видно, что тензор напряжений раскладывается на два тензора: 1) диагональный тензор, равный произведению физического скаляра на тензорную единицу, и 2) симметричный тензор, пропорциональный тензору скоростей деформации. У первого тензора все направления являются главными осями; у второго тензора, главные оси являются главными осями деформаций или скоростей деформаций, так что у тензора напряжений те же главные оси, что и у тензора деформаций, о чём уже говорилось.

Напишем ещё формулу (32) в раскрытом виде, отделив касательные напряжения от нормальных. Имеем:

а) касательные напряжения ():

(34)

б) нормальные напряжения ():

(35)

Коэффициент m, входящий в эти формулы, носит название коэффициента вязкости или коэффициента внутреннего трения жидкости.

4. Вывод уравнений Навье-Стокса. Случай несжимаемой жидкости.

Получив выражение (32) для компонент тензора напряжений, легко найти динамическое уравнение движения вязкой жидкости, выраженное через скорости движения и их производные; для этого нужно в уравнение (30) или эквивалентную систему (14) подставит вместо  их выражения по (34) и (35).

В смысле выкладок проще всего поступить так: взять первое из уравнений (14) и, подставив в него значения , ,  из (34) и (35), получим:

или перестановкой членов:

Отсюда сразу следует:

Аналогично получим, что вообще:

(36)

Эта система трёх уравнений эквивалентна одному векторному:

(37)

Последнее уравнение и есть известное уравнение Навье-Стокса, являющееся основным уравнением динамики вязкой жидкости; к нему присоединяется уравнение неразрывности (сохранения массы):

(17)

Так как , откуда , то уравнение Навье-Стокса принимает вид:

(37)

В случае жидкости переменной плотности мы имеем ещё уравнение процесса состояния:

(38)

Система уравнений (37), (17) и (38) представляет собою систему пяти уравнений с пятью неизвестными: , , ; ; . Таким образом мы видим, что сделанные физические предположения действительно доопределили задачу.

В более общем случае движения с притоком тепла, уравнения состояния содержат ещё температуру; для определения задачи в этом случае добавляется ещё уравнение притока энергии.

В случае несжимаемой жидкости, для которой r=const и в пространстве и во времени система уравнений будет иметь вид:

(39)

К этому случаю относятся возможные движения капельных жидкостей (вода, масло и др.), движение газов со скоростями, далёкими от скорости звука и при малых колебаниях температуры потока.