П о с т а н о в к а з а д а ч и, р а з р а б о т к а

2.1. П о с т а н о в к а з а д а ч и, р а з р а б о т к а

м а т е м а т и ч е с к о й м о д е л и

Постановка задачи связана с точным описанием исходных данных, условий задачи и целей ее решения. Этап разработки математической постановки называют также этапом формализации задачи. На этом этапе многие из условий задачи, заданные в форме различных словесных описаний, необходимо выразить на точном (формальном) языке математики. Полученная на этапе формализации новая задача называется м а т е м а т и ч е с к о й моделью исходной задачи. В результате инженерная задача приобретает вид формализованной математической задачи.

Рис.3. Поперечное сечение балки с нанесенной сеткой

Нанесем (рис.3) на рассматриваемое тело сетку с квадратными ячейками. Пронумеруем все углы с неизвестными температурами. Температуры в узлах верхней и нижней поверхностей равняются соответственно значениям Тa и Тb , а поэтому на рис.3 не показаны. Разностные уравнения для граничных узлов 6, 9, 11, 13, 20 можно выбрать по рассмотренным выше уравнениям. Система из 20 уравнений баланса энергии запишется следующим образом:

узел 1: T[2]+0,5*(T[7]+Tb)+Bi1*Tc - (2 + Bi1)*T[1] = 0,

 где Bi1 = alfa1* x/lamda ;

узел 2: T[1]+T[3]+T[8]+Tb - 4*T[0] = 0 ;

узел 3: T[2]+0,5*(T[9]+Tb)+Bi2*Td - (2+Bi2)*T[3] = 0,

где Bi2 = alfa2* x/lamda ;

узел 4: T[5]+0,5*(T[11]+Tb)+Bi2*Td - (2+Bi2)*T[4] = 0;

узел 5: T[4]+T[6]+T[12]+Tb - 4T[5] = 0 ;

узел 6: T[5]+0,5*(T[13]+Tb) - 2T[6] = 0 ;

узел 7: T[8]+0,5*(T[1]+T[14])+Bi1*Tc - (2+Bi1)*T[7]=0;

узел 8: T[7]+T[9]+T[2]+T[15] - 4*T[8] = 0 ;

узел 9: T[8]+T[16]+0,5*(T[3]+T[10])+Bi2*Td-(3 + Bi2)*T[9]=0;

узел 10: T[17]+0,5*(T[9]+T[11])+Bi2*Td-(2+Bi2)*T[10] = 0 ;

узел 11: T[12]+T[18]+0,5*(T[4]+T[10])+Bi2*Td-(3+Bi2)*T[11]=0 ;

узел 12: T[5]+T[11]+T[13]+T[19] - 4*T[12] = 0 ;

узел 13: T[12]+0,5*(T[6]+T[20]) - 2*T[13] = 0 ;

узел 14: T[15]+0.5*(T[7]+Ta)+Bi1*Tc - (2+Bi1)T[14] = 0;

узел 15: T[8]+T[14]+Ta+T[16] - 4T[15] = 0 ;

узел 16: T[9]+T[15]+Ta+T[17] - 4T[16] = 0 ;

узел 17: T[10]+T[16]+Ta+T[18] - 4T[17] = 0 ; (15)

узел 18: T[11]+T[17]+Ta+T[19] - 4T[18] = 0 ;

узел 19: T[12]+T[16]+T[20]+Ta - 4*T[19] = 0 ;

узел 20: T[19]+0,5*(T[13]+Ta) - 2*T[20] = 0 .

Окончательный вид системы уравнений для нахождения значений температуры в 20 узлах рассматриваемой задачи должен быть выбран в зависимости от метода решения.

В результате применения метода конечных разностей получили 20 алгебраических уравнений для 20 узлов в твердом теле. Эта система уравнений заменяет уравнение(3) в частных производных с соответствующими граничными условиями. Решение полученной системы уравнений позволяет найти распределение температуры в узлах твердого тела.

2.2. В ы б о р м е т о д а ч и с л е н н о г о

р е ш е н и я

Выбор метода решения задачи требует знания соответствующих разделов математики. Выбранный метод должен обеспечить представление вычислительного процесса в виде последовательности элементарных арифметических и логических операций. Если ни один из методов не подходит для решения поставленной задачи, возникает необходимость разработки нового метода.

Задачи, связанные с решением системы линейных алгебраических уравнений, базируются на прямых и итерационных методах. Прямые методы решения основаны на приведении системы уравнений к "треугольному" виду {методы Гаусса, Гаусса - Жордана, Холесского и др.}. Итерационные методы - на выражении неизвестных температур в левые части соответствующих уравнений системы {методы Якоби, Зейделя и др.}.

Коэффициенты при неизвестных температурах в уравнениях образуют разряженную матрицу, т.к. в каждом уравнении для ряда неизвестных они принимают нулевое значение. В этом случае итерационные методы, основанные на последовательном уточнении первоначального приближения для решения, представляют больший интерес по причине высокой вычислительной эффективности.

Анализ достоинств и недостатков методов решения систем линейных уравнений можно найти в специальной литературе [2,7], а применительно к задачам теплообмена [3,4,5].

Рассмотрим в качестве примера итерационный метод Зейделя. В нем из каждого уравнения выражают в явном виде температуру узла, для которого составляется баланс энергии и система уравнений (15) приводится к виду:

1: T[1]=(T[2]+0.5*(T[7]+Tb)+Bi1*Tc)/(2+Bi1);

2: T[2]=(T[1]+T[3]+T[8]+Tb)*0.25;

3: T[3]=(T[2]+0.5*(T[9]+Tb)+Bi2*Td)/(2+Bi2);

4: T[4]=(T[5]+0.5*(T[11]+Tb)+Bi2*Td)/(2+Bi2);

5: T[5]=(T[4]+T[6]+T[12]+Tb)*0.25;

6: T[6]=(T[5]+0.5*(T[13]+Tb))*0.5;

7: T[7]=(T[8]+0.5*(T[1]+T[14])+Bi1*Tc)/(2+Bi1);

8: T[8]=(T[2]+T[7]+T[9]+T[15])*0.25;

9: T[9]=(T[8]+T[16]+0.5*(T[3]+T[10])+Bi2*Td)/(3+Bi2);

 10: T[10]=(T[17]+0.5*(T[9]+T[11])+Bi2*Td)/(2+Bi2); (16)

 11: T[11]=(T[12]+T[18]+0.5*(T[4]+T[10])+Bi2*Td)/(3+Bi2);

 12: T[12]=(T[5]+T[11]+T[13]+T[19])*0.25;

 13: T[13]=(T[12]+0.5*(T[6]+T[20]))*0.5;

 14: T[14]=(T[15]+0.5*(T[7]+Ta)+Bi1*tc)/(2+Bi1);

 15: T[15]=(T[8]+T[14]+T[16]+Ta)*0.25;

 16: T[16]=(T[9]+T[15]+T[17]+Ta)*0.25;

 17: T[17]=(T[10]+T[16]+T[18]+Ta)*0.25;

 18: T[18]=(T[11]+T[17]+T[19]+Ta)*0.25;

 19: T[19]=(T[12]+T[18]+T[20]+Ta)*0.25;

 20: T[20]=(T[19]+0.5*(T[13]+Ta))*0.5;

При решении все начальные значения температур обычно принимаются равными нулю или значению наименьшей температуры тела, принятой с учетом граничных условий. Использование такого грубого начального приближения приводит к излишним затратам времени на получение решения, Однако при таком подходе значительно экономится время при вводе. Далее проведя вычисления, находим новые значения температур в каждом из 20 узлов. Новое значение каждой температуры сравнивается с предыдущим и если их разность меньше заданного допустимого отклонения, итерационный процесс заканчивается.

Для увеличения скорости решения системы уравнений вычисляемые искомые параметры используются по мере их получения для уточнения значений последующих температур: Т[1] сразу же применяется для вычисления температуры Т[2], полученные значения температур T[1] и Т[2] -для вычисления температуры Т[3] и т.д.