Уравнение электрических колебаний в проводах

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах.

 

Как указывалось выше, к уравнению (1) приводит и задача об электрических колебаниях в проводах. Электрический ток в проводе характеризуется величиной i (x, t) и напряжением v (x, t), которые зависят от координаты x точки провода и от времени t. Рассматривая элемент провода , можем написать, что падение напряжения на элементе  равно . Это падение напряжения складывается из омического, равного , и индуктивного, равного . Итак,

(4)

где R и L – сопротивление и коэффициент индуктивности, рассчитанные на единицу длины провода. Знак минус взят потому, что ток течет в направлении, обратном возрастанию v. Сокращая на , получаем уравнение

(5)

Далее, разность токов, выходящего из элемента  и входящего в него за время , будет

Она расходуется на зарядку элемента, равную , и на утечку через боковую поверхность провода вследствие несовершенства изоляции, равную  (здесь А – коэффициент утечки). Приравнивая эти выражения и сокращая на , получим уравнение

(6)

Уравнения (5) и (6)принято называть телеграфными уравнениями.

Из системы уравнений (5) и (6) можно получить уравнение, содержащее только искомую функцию i (x, t), и уравнение, содержащее только искомую функцию v (x, t). Продифференцируем члены уравнения (6) по x; члены уравнения (5) продифференцируем по t и умножим их на С. Произведя вычитание, получим:

Подставляя в последнее уравнение выражение  из уравнения (5), получим:

или

(7)

Аналогичным образом получается уравнение для определения v (x, t):

(8)

Если пренебречь утечкой через изоляцию  и сопротивлением , то уравнения (7) и (8) переходят в волновые уравнения:

где обозначено: . Исходя из физических условий, формулируют граничные и начальные условия задачи.

 

§1.2. Метод разделения переменных.

 

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны.

Метод разделения переменных или метод Фурье, является одним из наиболее распространенных методов решения уравнений с частными производными. Изложение этого метода мы проведем для задачи о колебаниях струны, закрепленной на концах. Итак, будем искать решение уравнения

удовлетворяющее однородным граничным условиям

(9)

и начальным условиям

(10)

Уравнение (1) линейно и однородно, поэтому сумма частных решений также является решением этого уравнения. Имея достаточно большое число частных решений, можно попытаться при помощи суммирования их с некоторыми коэффициентами найти искомое решение.

Поставим основную вспомогательную задачу: найти решение уравнения

не равное тождественно нулю, удовлетворяющее однородным граничным условиям

(11)

и представимое в виде произведения

(12)

где X (x) – функция только переменного x, T (t) – функция только переменного t.

Подставляя предполагаемую форму решения (12) в уравнение (1), получим:

или, после деления на XT,

(13)

Чтобы функция (12) была решением уравнения (1), равенство (13) должно удовлетворяться тождественно, т. е. 0 ‹ х ‹ , t › 0. Правая часть равенства (13) является функцией только переменного t, а левая – только х. Фиксируя, например, некоторое значение х и меняя t (или наоборот), получим, что правая и левая части равенства (13) при изменении своих аргументов сохраняют постоянное значение

(14)

где  – постоянная, которую для удобства последующих выкладок берем со знаком минус, ничего не предполагая при этом о ее знаке.

Из соотношения (14) получаем обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций X (x) и T (t)

(15)

(16)

Граничные условия (11) дают:

Отсюда следует, что функция X (x) должна удовлетворять дополнительным условиям:

X(0) = X() = 0,  (17)

Так как иначе мы имели бы

в то время как задача состоит в нахождении нетривиального решения. Для функции T (t) в основной вспомогательной задаче никаких дополнительных условий нет.

Таким образом, в связи с нахождением функции X (x) мы приходим к простейшей задаче о собственных значениях:

найти те значения параметра , при которых существуют нетривиальные решения задачи:

(18)

а также найти эти решения. Такие значения параметра  называются собственными значениями, а соответствующие им нетривиальные решения – собственными функциями задачи (18). Сформулированную таким образом задачу часто называют задачей Штурма – Лиувилля.

Рассмотрим отдельно случаи, когда параметр  отрицателен, равен нулю или положителен.

1.        При  ‹ 0 задача не имеет нетривиальных решений. Действительно, общее решение уравнения (15) имеет вид

Граничные условия дают:

Х (0) = С₁ + С₂ = 0;

т. е.

Но в рассматриваемом случае  – действительно и положительно, так что . Поэтому

С₁ =0, С₂ = 0

и, следовательно,

Х (х)0.

2.        При  = 0 также не существует нетривиальных решений. Действительно, в этом случае общее решение уравнения (15) имеет вид

Х (х) = С₁х + С₂.

Граничные условия дают:

т. е. С₁ = 0 и С₂ = 0 и, следовательно,

Х (х)0.

3.         При  › 0 общее решение уравнения может быть записано в виде

Граничные условия дают:

Если Х(х) не равно тождественно нулю, то D₂0, поэтому

(19)

или

где n- любое целое число. Следовательно, нетривиальные решения задачи (18) возможны лишь при значениях

Этим собственным значениям соответствуют собственные функции

где D_n – произвольная постоянная.

Итак, только при значениях , равных

(20)

существуют нетривиальные решения задачи (11)

(21)

определяемые с точностью до произвольного множителя, который мы положили равным единице. Этим же значениям _n соответствуют решения уравнения (9)

 (22)

где A_n и B_n – произвольные постоянные.

Возвращаясь к задаче (1), (9), (10), заключаем, что функции

(23)

являются частными решениями уравнения (1), удовлетворяющими граничным условиям (11) и представимыми в виде произведения (12) двух функций, одна из которых зависит только от х, другая – от t. Эти решения могут удовлетворить начальным условиям (10) нашей исходной задачи только для частных случаев начальных функций j(x) и y(x).

Обратимся к решению задачи (1), (9), (10) в общем случае. В силу линейности и однородности уравнения (1) сумма частных решений

 (24)

также удовлетворяет этому уравнению и граничным условиям (9). Начальные условия позволяют определить A_n и B_n. Потребуем, чтобы функция (24) удовлетворяла условиям (10)

(25)

Из теории рядов Фурье известно, что произвольная кусочно-непрерывная и кусочно-дифференцируемая функция f(x), заданная в промежутке , разлагается в ряд Фурье

 (26)

где

(27)

Если функции j(x) и y(x) удовлетворяют условиям разложения в ряд Фурье, то

(28)

(29)

Сравнение этих рядов с формулами (25) показывает, что для выполнения начальных условий надо положить

 (30)

чем полностью определяется функция (24), дающая решение исследуемой задачи.

Итак, мы доказали, что ряд (24), где коэффициенты A_n и B_n определены по формуле (30), если он допускает двукратное почленное дифференцирование, представляет функцию u (x, t), которая является решением уравнения (1) и удовлетворяет граничным и начальным условиям (9) и (10).

Замечание. Решая рассмотренную задачу для волнового уравнения другим методом, можно доказать, что ряд (24) представляет решение и в том случае, когда он не допускает почленного дифференцирования. При этом функция должна быть дважды дифференцируемой, а  - один раз дифференцируемой.

Глава 2. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.