Двойной интеграл в полярных координатах

3442
знака
0
таблиц
9
изображений

П
усть в двойном интеграле

(1)

при обычных предположениях мы желаем перейти к полярным координатам r и f, полагая

x = r cos , y = r sin . (2)

Область интегрирования S разобьем на элементарные ячейки Si с помощью координатных линий r = ri (окружности) и  = i (лучи) (рис.1).

Введем обозначения:


rj = rj+1 - rj,

i = i+1 - i


Так как окружность перпендикулярна (ортогональна) радиусам, то внутренние ячейки Si с точностью до бесконечно малых высшего порядка

малости относительно их площади можно рассматривать как прямоугольники с измерениями rji и rj; поэтому площадь каждой такой ячейки будет равна:

Si = rj i rj (3)

Что касается ячеек Sij неправильной формы, примыкающих к границе Г области интегрирования S, то эти ячейки не повлияют на значение двойного интеграла и мы их будем игнорировать.

В качестве точки Mij  Sij для простоты выберем вершину ячейки Sij с полярными координатами rj и i. Тогда декартовые координаты точки Mij равны:

xij = rj cos i, yij = rj sin i.

И следовательно,

f(xij,yij) = f(rj cos i, rj sin i) (3')


Двойной интеграл (1) представляет собой предел двумерной интегральной суммы, причем можно показать, что на значение этого предела не влияют добавки к слагаемым

интегральной суммы, являющиеся бесконечно малыми высшего порядка малости, поэтому учитывая формулы (3) и (3'), п
олучаем:

(4)

где d - максимальный диаметр ячеек Sij и сумма распространена на все ячейки указанного выше вида, целиком содержащиеся в области S. С другой стороны, величины i и rj суть числа и их можно рассматривать как прямоугольные декартовые координаты некоторых точек плоскости Or. Таким образом, сумма (4) является интегральной суммой для функции

f(r cos, r sin)r,

с
оответствующая прямоугольной сетке с линейными элементами i и ri. Следовательно

(5)

С
равнивая формулы (4) и (5), получим окончательно

(6)

Выражение

dS = r d dr

называется двумерным элементом площади в полярных координатах. Итак, чтобы в двойном интеграле (1) перейти к полярным координатам, достаточно координаты x и y заменить по формулам (2), а вместо элемента площади dS подставить выражение (7).

Д
ля вычисления двойного интеграла (6) его нужно заменить повторным. Пусть область интегрирования S определяется неравенствами

Где r1(), r1() - однозначные непрерывные функции на отрезке [,]. (рис 2).

Имеем



(8)


Где

F(r,) = rf(r cos, r sin)


Пример 1.

П
ереходя к полярным координатам  и r, вычислить двойной интеграл

Где S - первая четверть круга радиуса R=1, с центром в точке О(0,0) (рис 3).

Так как

т
о применяя формулу (6),

п
олучим

Область S определена

Неравенствами

П

оэтому на основании формулы (8) имеем


Пример 2.

В
интеграле

(9)

перейти к полярным координатам.


Область интегрирования здесь есть треугольник S, ограниченный прямыми y=0, y=x, x=1 (рис 4).

В полярных координатах уравнения

этих прямых записываются

следующим образом: =0,

=/4, r cos=1 и,

следовательно, область S

определяется неравенствами

О
тсюда на основании формул

(6) и(8), учитывая, что

и

меем



Краснодарский Колледж Электронного Приборостроения


РЕФЕРАТ




Выполнил студент

группы 60-5ЭВТ

Немцев Михаил


Краснодар

1


Информация о работе «Двойной интеграл в полярных координатах»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3442
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 9

Похожие работы

Скачать
22378
0
20

... Q(у) такого сечения равна , где у при интегрировании считается величиной постоянной. Интегрируя затем Q(у) в пределах изменения у, т. е. от c до d, мы придем ко второму выражению для двойного интеграла (Б) Здесь интегрирование совершается сначала по х, а потом по у. .Формулы (А) и (Б) показывают, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух обыкновенных ...

Скачать
33388
0
0

... , то отрицательны. Т.Лейбница: Если члены знакочередующегося ряда убывают по абсолютной величине U1>U2>U3… и предел его общего члена при n®¥ равен 0 (Lim n®¥ Un=0), то ряд сходится, а его сумма не превосходит первого члена: U1³S. Д: Рассмотрим последовательность частичных сумм четного числа членов при n=2m: S2m=(U1-U2)+(U3-U4)+…+(U2m-1-U2m). Эта последовательность ...

Скачать
12032
0
8

... порядок интегрирования ( т.е., скажем, интегрировать сначала по направлению оси Oy, а затем по области плоскости Oxz), то это приведёт к изменению порядка интегрирования в тройном интеграле и к изменению пределов интегрирования по каждой переменной.   Рис.3 Рис.4А) Пример. Вычислим тройной интеграл где - область, ограниченная координатными плоскостями и ...

0 комментариев


Наверх