Министерство общего и профессионального образования Р.Ф.

Иркутский государственный технический университет.

Кафедра высшей математики.

 

 

 

 

Реферат.

 

Применение тройных или кратных

интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка

группы ТЭ-97-1

Мелкоступова С.С.

Проверил преподаватель

кафедры высшей математики

Седых Е.И.

 

 

 

 

 

 

 

Иркутск 1998.

 

Содержание.

 

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

II. Вычисление тройных интегралов.

1. Декартовы координаты.

А) Пример.

2. Цилиндрические координаты.

3. Сферические координаты.

А) Пример.

4. Применение тройных интегралов.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

I. Масса неоднородного тела. Тройной интеграл.

 

Рассмотрим тело, занимающее пространственную область Тройные и кратные интегралы (рис. 1), и предположим, что плотность распределения массы в этом теле является непрерывной функцией координат точек тела:

Тройные и кратные интегралы

Единица измерения плотности - кг/м3.

Тройные и кратные интегралы

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.

Разобьем тело произвольным образом на n частей; объемы этих частей обозначим Тройные и кратные интегралы Выберем затем в каждой части по произвольной точке Тройные и кратные интегралы Полагая, что в, каждой частичной области плотность постоянна и равна ее значению в точке Тройные и кратные интегралы, мы получим приближенное выражение для массы всего тела в виде суммы

Тройные и кратные интегралы (*)

Предел этой суммы при условии, что Тройные и кратные интегралы и каждое частичное тело стягивается в точку (т. е. что его диаметр ) стремится к нулю), и даст массу М тела

Тройные и кратные интегралы

Сумма (*) называется n-й интегральной суммой, а ее предел - тройным интегралом от функции Тройные и кратные интегралы по пространственной области Тройные и кратные интегралы.

К вычислению тройного интеграла, помимо определения массы тела, приводят и другие задачи. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать тройной интеграл

Тройные и кратные интегралы

где Тройные и кратные интегралы - произвольная непрерывная в области Тройные и кратные интегралыфункция.

Терминология для тройных интегралов совпадает с соответствующей терминологией для двойных интегралов. Точно так же формулируется и теорема существования тройного интеграла .

Свойства двойных интегралов, полностью переносятся на тройные интегралы. Заметим только, что если подынтегральная функция Тройные и кратные интегралы тождественно равна 1, то тройной интеграл выражает объем V области Тройные и кратные интегралы:

Тройные и кратные интегралы

Потому свойства V и VI надо теперь сформулировать следующим образом.

V 1. Если функция Тройные и кратные интегралы во всех точках области интегрирования Тройные и кратные интегралы удовлетворяет неравенствам

Тройные и кратные интегралы

то

Тройные и кратные интегралы

где V - объем области Тройные и кратные интегралы.

VI 1. Тройной интеграл равен произведению значения подынтегральной функции в некоторой точке области интегрирования на объем области интегрирования, т. е.

Тройные и кратные интегралы

 

 

II. Вычисление тройных интегралов.

Вычисление тройного интеграла Тройные и кратные интегралы может быть осуществлено посредством ряда последовательных интегрировании. Мы ограничимся описанием соответствующих правил.


Информация о работе «Тройные и кратные интегралы»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 12032
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 8

Похожие работы

Скачать
15035
0
26

... так: , (10) где F1 и F2 – функции, полученные при подстановке в функцию f вместо x, y, z их выражений через цилиндрические (8) или сферические (9) координаты. 1.4 Геометрические и физические приложения кратных интегралов 1) Площадь плоской области S: (11) Пример 1. Найти площадь фигуры D, ограниченной линиями у = 2, у = 5. Решение. Эту площадь удобно вычислять, считая у ...

Скачать
20707
0
2

... выражения типа дивергенции по п- мерной области и интеграл по ограничивающей ее сверхповерхности S с уравнением L(x,y,z,…)=0. Если придерживаться прежних обозначений, то формула имеет вид   (3) Впрочем, Остроградский не применял геометрических образов и терминов, которыми пользуемся мы: геометрия многомерных пространств в то время еще не существовала. В “Мемуаре об исчислении вариаций кратных ...

Скачать
46169
0
217

... и докажите сходимость полученного разложения к порождающей функции. Исследовать на абсолютную и условную сходимость . Зав. кафедрой -------------------------------------------------- Экзаменационный билет по предмету МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Билет № 12 Сформулируйте теорему Ролля и объясните ее геометрический смысл. Исследуйте функцию на выпуклость и вогнутость. Какая ...

Скачать
44324
0
22

... Из этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье нашли широкое применение в различных отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики. Этот вопрос можно решить с помощью теоремы Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181) ...

0 комментариев


Наверх