Перечислите вырожденные поверхности второго порядка

3.    Перечислите вырожденные поверхности второго порядка.

4.    Как называется линия второго порядка, по которой плоскость
х = 1 пересекает гиперболоид + у² - z² = 1? Напишите уравнение этого сечения.

5.    Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х² + 3у² - z² + 6zу - 4 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 2

1.    Как вычисляется определитель третьего порядка ?
Вычислить определитель третьего порядка .

2.    Найти координаты точки пересечения прямых у = 5х - 4 и .

3.    Какая поверхность называется поверхностью второго порядка?

4.    Меридиан = 1 вращается вокруг оси Оz. Какая поверхность второго порядка при этом получается?

5.    Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
4х² + 2у²- 4ху-2yz- 4=0. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 3

6.    Напишите условие параллельности прямых , .

7.    Написать общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу.

8.    Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида вращения.

9.    Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

10.  Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
х² + 2у² + 3z² - 4хz - 3 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 4

11.  Что называется направляющим вектором прямой на плоскости или в пространстве?

12.  Найти смешанное произведение трех векторов (1, 2, 3), (-1, 1, 0),
(0, 3, 1).

13.  Напишите каноническое уравнение однополостного гиперболоида вращения.

14.  Какие плоскости симметрии имеет эллипсоид ?

15.  Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
–x² + 2y² + 2z² – 2yz = 6. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 5

16.  Напишите условие параллельности прямых у = к₁х + b₁, y = к₂х + b_2.

17.  Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Оу и точку М(2, 0,1).

18.  Дайте определение прямолинейной образующей поверхности второго порядка.

19.  Найдите точки пересечения прямой  
и эллипсоида х² + у² +.

20.  По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка определяет следующее уравнение: 2x² – 4y² + z² + 6xz =10?

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 6

21.  Что называется нормальным вектором прямой на плоскости?

22.  Найти нормальный вектор  плоскости, в которой лежат векторы
(2, 5, 0) и (3, 0, 2).

23.  Какой цилиндр является цилиндром второго порядка?

24.  Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Оz.

25.  Напишите характеристическое уравнение квадратичной формы:
3х²+4у²+6z²-2xz и найдите ее характеристические числа.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 7

26.  Какой угол могут образовывать нормальные векторы двух параллельных плоскостей?

27.  Найти общее уравнение плоскости, проходящей через ось Ох и точку М(0, -1,1).

28.  Напишите каноническое уравнение параболического цилиндра. Какой координатной оси параллельна образующая этого цилиндра? Какая линия второго порядка является направляющей этого цилиндра?

29.  Какие плоскости симметрии имеет гиперболоид ?

30.  Напишите характеристическое уравнение для данной квадратичной формы и найдите ее характеристические числа: 9х² + 3у² + 6z² - 12ху.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 8

31.  Как найти нормальный вектор к плоскости, проходящей через два неколлинеарных вектора?

32.  Найти каноническое уравнение прямой

33.  Напишите каноническое уравнение конуса вращения.

34.  Напишите каноническое уравнение кругового цилиндра с образующей, параллельной оси Ох.

35.  Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка:
14х² + 12у² + 10z² - 8ху - 8zу - 17 = 0.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 9

36.  Напишите уравнение прямой на плоскости по точке и направляющему вектору.

37.  Найти координаты вектора, представляющего собой векторное произведение вектора  = (1, 0, 1) на вектор (3, 1, -1).

38.  Какой вид имеет каноническое уравнение эллипсоида вращения?

39.  Какие плоскости симметрии имеет параболоид 2у = ?

40.  Ось Оz является осью вращения конуса с вершиной в начале координат, точка М (0, 1, 2) лежит на его поверхности. Составить уравнение этого конуса.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 10

41.  Известно, что прямая в пространстве с направляющим вектором  параллельна плоскости с нормальным вектором . Как расположены векторы  и  по отношению друг к другу?

42.  Докажите, что прямая  лежит на плоскости х + у -3z + 17 = 0.

43.  Напишите каноническое уравнение эллиптического параболоида.

44.  Напишите каноническое уравнение эллиптического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

45.  По характеристическим числам соответствующей квадратичной формы выяснить, какую невырожденную поверхность второго порядка может определять следующее уравнение: х² + у² + z² - 2ху = 10.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 11

46.  Дайте определение векторного произведения векторов  и .

47.  Точка М₁ (1, -2, 2) является основанием перпендикуляра, опущенного из точки М₂ (3, 0, -1) на плоскость. Найти уравнение плоскости.

48.  Что называется уравнением поверхности в пространстве Охуz?

49.  Напишите каноническое уравнение гиперболического цилиндра с образующей, параллельной оси Оу.

50.  Приведите к каноническому виду уравнение поверхности второго порядка
5x² + 2y² + 7z² – 4yx = 42. Определить вид этой поверхности.

Зав. кафедрой

--------------------------------------------------

 

Экзаменационный билет по предмету

АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Билет № 12