Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке

7.    Определяют координаты точки максимума (минимума) функции и вычисляют значение целевой функции в этой точке.

Пример 1. Два больших войсковых соединения и  к новому месту дислокации перевозятся по железной дороге. Для их погрузки выделяются три станции , с различными возможностями. Перевозка соединений осуществляется с соблюдением следующих ограничений:

1.    Количество перевозимых частей в соединении равно 6, а в –9.

2.    Каждая станция может принять определенное количество частей: .

3.    На погрузку одной части станции затрачивают различное время (в сутках), которое указано в таблице.

Соединения	Станция погрузки
	3,0 4,5	4,0 6,5	2,5 3,5

Определить оптимальный вариант распределения частей по станциям погрузки, исходя из минимума суммарных затрат времени на погрузку.

Решение.

Решение штабов соединений состоит в распределении частей по станциям погрузки. Обозначим через  число частей i-го соединения (i =1,2) на j-ой станции (j=1, 2, 3).

Мы можем записать:

количество частей соединений на станциях погрузки  соответственно.

 - количество частей соединения  на местах погрузки.

 - количество частей соединения  на местах погрузки.

Общая сумма затрат времени (в сутках) на погрузку есть

В этой задаче 6 переменных, но мы можем свести к двум.

Пусть

Тогда

Целевая функция имеет вид

Итак, надо найти  при ограничениях:

которая решается графически

Возьмем прямую  и начнем строить параллельные ей в направлении антиградиента, где .

Последняя вершина многоугольника решений есть точка С, получаемая пересечением прямых (1) и (4). Решая, получим С (1;5).

Итак, оптимальные значения будут следующими: , а общие затраты времени (суток).

 

§3 АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД ОПТИМИЗАЦИИ

Пусть дана целевая функция .

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции и (одной) вещественных переменных надо найти критические точки, в которых частные производные (производная) функции f по всем переменным обращается в 0. Кроме того, надо исследовать точки границы, если она принадлежит области определения. Среди них выбрать значения, где f принимает наибольшее и наименьшее значение.

Пример 2. Определить оптимальный по времени маршрут выдвижения танкового подразделения из пункта А в пункт F, если допустимая скорость движения танков до дороги , по дороге , за дорогой . Удаление от дороге пункта А равно , пункта F . Расстояние между точками В и Е равно L = 90 км.

Составим математическую модель, то есть найдем функцию цели. Нас интересует время. Время выдвижения из пункта А в пункт F.

ВС = х км; DE = y км; АС =

CD = L – x – y; DF =  

Составим функцию цели, которая зависит от двух переменных

Найдем критические точки

При данных условиях

Найдем значение t при полученных x и y

При вычислении значения t на границе, значения получаются больше, чем 4,24 часа. Следовательно, оптимальное решение будет при

х = 6,9 км, у = 24 км, .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Развитие современного общества характеризуется повышением технического уровня, усложнением организационной структуры производства, управления войсками, углублением общественного разделения труда, предъявлением высоких требований к методам планирования хозяйственного и военного руководства. В этих условиях только научный подход к руководству хозяйственной жизнью общества позволит обеспечить высокие темпы развития народного хозяйства. Научного подхода требует и решение тактических и стратегических задач, руководство военными операциями.

В настоящее время новейшие достижения математики и современной вычислительной техники находят все более широкое применение как в экономических исследованиях и планировании, так и в решении военных тактических задач. Этому способствует развитие таких разделов математики как математическое программирование, теория игр, теория массового обслуживания, а также бурное развитие быстродействующей электронно-вычислительной техники. Уже накоплен большой опыт постановки и решения экономических и тактических задач с помощью математических методов. Особенно успешно развиваются методы оптимального управления. Ярким примером применения современных математических методов является война Америки с Ираком и «Буря в пустыне». Там быстро развивается экономика и производство, где широко используются математические методы.

ЛИТЕРАТУРА

1.    Тихонов А. Н., Костомаров Л. П. Вводные лекции по прикладной математике. М., Наука, 1984.

2.    Кудрявцев Е. Н. Исследования операций в задачах, алгоритмах и программах. М., Наука, 1982.

3.    Кузнецов Ю. Н., Кузубов В. И., Волощеноко А. В. Математическое программирование. М., Высшая школа, 1980.

4.    Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. М., Наука, 1979.