Войти на сайт

или
Регистрация

Навигация


Методы интегрирования

25492
знака
0
таблиц
77
изображений

Федеральное агентство по образованию

Государственное общеобразовательное учреждение высшего профессионального образования

Калмыцкий Государственный Университет


Лабораторный практикум для студентов

факультета математики и физики

Методы интегрирования


Элиста 2006

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1


Первообразная. Неопределенный интеграл


Опр1. Пусть функция Методы интегрирования определена на некотором конечном или бесконечном промежутке Методы интегрирования числовой оси R. Функция Методы интегрирования, определенная на этом промежутке, называется первообразной функцией (или просто первообразной) функции Методы интегрирования на Методы интегрирования, если

функция Методы интегрированиянепрерывна на Методы интегрирования;

во всех внутренних токах x промежутка Методы интегрирования функция Методы интегрирования имеет производную и Методы интегрирования;

Пример1. Пусть Методы интегрирования. Тогда функция Методы интегрирования, является первообразной для Методы интегрирования так как:

функция Методы интегрирования определена на области определения функции Методы интегрирования (т.е. на R);

Методы интегрирования=Методы интегрирования=Методы интегрированияМетоды интегрирования.

Заметим, что функции вида Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования и им подобные также являются первообразными для функции Методы интегрирования, т. к.

Функции Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования непрерывны на R (области определения функцииМетоды интегрирования);

Методы интегрирования; Методы интегрирования.

Таким образом, если Методы интегрирования- первообразная функции Методы интегрированияна промежутке Методы интегрирования, то для любой постоянной Методы интегрирования функция Методы интегрирования тоже является первообразной функции Методы интегрирования на Методы интегрирования.

Опр 2. Совокупность всех первообразных функции Методы интегрирования, определенной на некотором промежутке Методы интегрирования, называется неопределенным интегралом функции Методы интегрирования на этом промежутке и обозначается Методы интегрирования. Символ Методы интегрированияназывается знаком интеграла, Методы интегрирования- подынтегральной функцией.

Если Методы интегрирования какая-либо первообразная функции Методы интегрирования на Методы интегрирования, то пишут Методы интегрирования.

Основные свойства неопределенного интеграла:

Пусть функция Методы интегрирования непрерывна на промежутке Методы интегрирования и дифференцируема в его внутренних точках, тогда Методы интегрирования или, что тоже самое Методы интегрирования.

Пусть функция Методы интегрирования имеет первообразную на промежуткеМетоды интегрирования, тогда для любой внутренней точки промежутка Методы интегрирования имеет место равенство Методы интегрирования или, что то же Методы интегрирования.

Если функции Методы интегрирования и Методы интегрирования имеют первообразные на Методы интегрирования, то и функция Методы интегрирования также имеет первообразную на Методы интегрирования, причем Методы интегрирования.

Обобщение:Методы интегрирования.

Если функция Методы интегрирования имеет первообразную на промежутке Методы интегрирования и Методы интегрирования– число, то функция Методы интегрирования также имеет на Методы интегрирования первообразную, причем при Методы интегрирования справедливо равенство Методы интегрирования


Таблица основных интегралов

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Таблица дифференциалов:


Методы интегрирования


Вообще


Методы интегрирования


Этой таблицей можно пользоваться.

Так, например, выражение Методы интегрирования мы будем представлять в виде Методы интегрирования или выражения Методы интегрирования в виде Методы интегрирования и говорить, что подводим функцию Методы интегрирования или Методы интегрирования, соответственно, под знак дифференциала.

Замечание: Методы интегрирования.

Интегралы, получающиеся из табличных «линейным сдвигом» аргумента (т.е. интегралы вида Методы интегрирования, Методы интегрирования, Методы интегрирования,…) будем называть почти табличными интегралами.

Пример2.


Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

В-1


Методы интегрирования


В-2


Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №1


Дайте определение первообразной функции или интеграла от заданной функции Методы интегрированияв заданном промежутке.

Какова общая формула записи всех первообразных от заданной функции Методы интегрирования?

Что называется неопределенным интегралом от Методы интегрирования; как он обозначается? Что такое подынтегральное выражение и подынтегральная функция?

Сформулируйте свойства неопределенного интеграла, непосредственно вытекающие из его определения.

В чем разница между выражениями: Методы интегрирования и Методы интегрирования?

Рассмотрите таблицу основных интегралов. Покажите, как каждая из ее формул получается из соответствующей формулы для производной.

Докажите, что Методы интегрирования, где Методы интегрирования- постоянная, не равная нулю.

Чему равен неопределенный интеграл от суммы дифференциалов?

Чему равен интеграл Методы интегрирования, если известно, что Методы интегрирования?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2


Методы интегрирования (Замена переменной. Интегрирование по частям)


Замена переменной

Пусть функции Методы интегрирования и Методы интегрирования определены соответственно на промежутках Методы интегрирования

и Методы интегрирования; функция Методы интегрирования непрерывна на промежуткеМетоды интегрирования и дифференцируема в его внутренних точках. Тогда, если функция Методы интегрирования имеет первообразную Методы интегрирования на Методы интегрирования и, следовательно, Методы интегрирования то функция Методы интегрирования имеет на Методы интегрирования первообразную Методы интегрирования и поэтому Методы интегрирования

Замечание: то есть, полагаем Методы интегрирования;

Пример 1: Вычислить Методы интегрирования. Делаем замену Методы интегрирования.

Тогда Методы интегрированияМетоды интегрирования.Методы интегрирования

Пример 2: Вычислить Методы интегрированияДелаем замену Методы интегрированияМетоды интегрирования,

Тогда Методы интегрирования

Интегрирование по частям.

Если функции Методы интегрирования и Методы интегрирования непрерывны на некотором промежутке, дифференцируемы в его внутренних точках и на этом промежутке существует интеграл Методы интегрирования, то на нем существует и интегралМетоды интегрирования причем Методы интегрирования

Пример 3


Вычислить Методы интегрирования Полагаем Методы интегрированияТогда Методы интегрирования

Обычно в интегралах вида

Методы интегрирования

Методы интегрирования в качестве u берется Методы интегрирования, где Методы интегрирования- многочлен степени Методы интегрирования

Методы интегрирования

В интегралах вида

Методы интегрирования


в качестве Методы интегрирования берутся Методы интегрирования, Методы интегрирования-многочлен степени Методы интегрирования

3) Интегралы вида


Методы интегрирования


В интегралы указанного вида входит выражение Методы интегрирования, которое называют квадратным трехчленом.

Всякий квадратный трехчлен, у которого коэффициент при х в первой степени равен нулю, называется каноническим.

Он имеет вид Методы интегрирования.

Покажем на примерах, как квадратный трехчлен приводится к каноническому виду.

Пусть дан трехчлен Методы интегрирования. Дополняем его до полного квадрата. Чтобы избежать дробных слагаемых, поступаем так:


Методы интегрирования


Тогда

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №2


На каком свойстве дифференциала основан метод замены переменной или подстановки?

При каких условиях этот метод применим?

Покажите, что правило интегрирования по частям есть следствие правила дифференцирования произведения функций.

Назовите классы интегралов, которые можно вычислить интегрированием по частям.

Как вычисляются интегралы вида Методы интегрирования, Методы интегрирования, Методы интегрирования, где Методы интегрирования- многочлен целой степени относительно х?

В чем особенности вычисления интегралов:


Методы интегрирования, Методы интегрирования?


Выведите рекуррентную формулу для вычисления интеграла


Методы интегрированияМетоды интегрирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3


Интегрирование рациональных выражений


Метод неопределенных коэффициентов

Так как из неправильной рациональной дроби можно выделить целую часть, интегрирование которой не представляет трудностей, то достаточно заняться интегрированием правильных дробей (у которых степень числителя ниже степени знаменателя).

Остановимся на так называемых простых дробях. Это дроби следующих четырех типов:


Методы интегрирования

где Методы интегрирования = 2,3,4,…..;

Методы интегрирования-вещественные числа.

Рассмотрим интегралы от данных дробей Методы интегрированияI-IV:


Методы интегрирования

Методы интегрирования


Для интегрирования дробей вида III,IV в трехчлене Методы интегрирования выделим полный квадрат:


Методы интегрирования

Делаем подстановку:


Методы интегрирования и Методы интегрирования


В случае III имеем:

Если


Методы интегрирования, то


Методы интегрирования

Методы интегрирования.

Если

Методы интегрирования, то Методы интегрирования

Методы интегрирования


В случае IV будем иметь:


Методы интегрированияМетоды интегрирования


Первый интеграл вычисляется с помощью подстановки: Методы интегрирования, Методы интегрирования

Методы интегрирования,


а второй интеграл вычисляется с помощьМетоды интегрирования рекуррентной формулы. Пусть


Методы интегрирования, где Методы интегрирования=2,3,4…


Проинтегрируем интеграл Методы интегрирования по частям, положив


Методы интегрирования, Методы интегрирования


А затем, добавив и вычтя в числителе получившиеся под знаком интеграла функции и произведя деление так, как это указано ниже, получим

Методы интегрированияМетоды интегрирования,


то есть


Методы интегрированияМетоды интегрирования

Методы интегрирования,


m=2,3,4…. (*)

Интервал Методы интегрирования легко вычисляется. Формула (*) позволяет вычислить Методы интегрирования; зная же Методы интегрирования, по этой же формуле можно найти значение и Методы интегрирования, продолжая процесс дальше, можно найти и выражение для любого интеграла Методы интегрирования.


Методы интегрирования


Пример1


Методы интегрирования


Пусть Методы интегрирования и Методы интегрирования- многочлены с действительными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов состоит в следующем: для данной дроби Методы интегрирования пишется разложение:


Методы интегрирования


в котором коэффициенты Методы интегрированиясчитаются неизвестными ( Методы интегрирования; Методы интегрирования;Методы интегрированияМетоды интегрирования). После этого равенства приводятся к общему знаменателю и у получившихся в числителе многочленов приравниваются коэффициенты. При этом, если степень многочлена Методы интегрирования равна Методы интегрирования, то, вообще говоря, в числителе правой части равенства (**) после приведения к общему знаменателю получается многочлен степени Методы интегрирования, т.е. многочлен с Методы интегрирования коэффициентами; число же неизвестных Методы интегрирования так же равняется Методы интегрирования: Методы интегрирования. Таким образом, мы получаем систему Методы интегрирования уравнений с Методы интегрирования неизвестными.


Методы интегрирования


раскроем скобки, располагаем степени Методы интегрирования по убывающей, получаем:

Методы интегрирования


Сравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Методы интегрирования:


Методы интегрирования


Решаем полученную систему, находим неизвестные коэффициенты:

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №3


Приведите примеры интегралов, не выражающихся в конечном виде через элементарные функции.

В чем заключается характерная особенность класса рациональных функций?

Перечислить четыре типа простых дробей.

Покажите, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования и какую при этом выгодно применить подстановку.

Покажите подробно, как вычисляется интеграл вида Методы интегрирования и какие подстановки следует при этом применять.

В чем состоит применение метода неопределенных коэффициентов к разложению правильной дроби в сумму простых?

8) С помощью каких функций выражается в конечном виде интеграл

от любой рациональной функции?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 4


Интегрирование рациональных дробей. Метод Остроградского


Метод Остроградского позволяет чисто алгебраическим путем выделить рациональную часть интеграла.

Пусть имеем правильную дробь Методы интегрирования, которую будем предполагать несократимой, и пусть знаменатель ее Q разложен на простые множители


Методы интегрированияМетоды интегрирования (*)


Тогда интеграл от этой дроби представится в виде суммы интегралов от дробей вида:


Методы интегрирования (1)


или


Методы интегрирования (2)

Если Методы интегрирования (или Методы интегрирования) больше единицы, то интегралы всех дробей группы (1) или (2) , кроме первой, преобразуются по формуле


Методы интегрирования


или

Методы интегрирования


Объединяя все результаты, окончательно придем к формуле вида


Методы интегрирования (3)


Рациональная часть интеграла Методы интегрирования, получена от сложения выделенных выше рациональных частей; следовательно, прежде всего она является правильной дробью, а ее знаменатель имеет разложение


Методы интегрирования


Что касается дроби Методы интегрирования, оставшейся под знаком интеграла, то она получилась от сложение дробей вида I и II (Л. Р.№2), так что она тоже правильная и Методы интегрирования. Очевидно , Q=Методы интегрирования (см.(*)).

(3)называется формулой Остроградского. Дифференцируя, можно представить ее в равносильной форме Методы интегрирования

Методы интегрирования (4)


Так как производная Методы интегрированиясодержит все простые множители, на которые разлагается, то Методы интегрирования является наибольшим общим делителем Методы интегрирования и Методы интегрирования, так что Методы интегрирования может быть определено по этим многочленам (последовательным делением). Тогда Методы интегрирования определяется простым делением Методы интегрирования на Методы интегрирования. Обратимся к определению числителей Методы интегрирования и Методы интегрирования в формуле (4).

Для этого используем метод неопределенных коэффициентов.

Перепишем (4) в виде:


Методы интегрированияМетоды интегрирования (5)


Покажем теперь, что первую дробь всегда можно привести к знаменателю Методы интегрирования, сохранив целым числитель. Именно,


Методы интегрирования, (6)


где Методы интегрирования означает частное Методы интегрирования. Освобождаясь от общего знаменателя Методы интегрирования, придем к тождеству двух многочленов (сравни (5) и (6)).

Пример. Методы интегрирования

Имеем


Методы интегрирования

Методы интегрирования.


Откуда


Методы интегрирования

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в обеих частях , получим:


Методы интегрированияМетоды интегрирования


Таким образом,


Методы интегрирования=-Методы интегрирования

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

В-1

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопрос к лабораторной работе №4


1. В чем заключается метод Остроградского и когда им пользуются?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №5


Интегрирование тригонометрических функций


Дифференциалы вида


Методы интегрирования, (I)


где Методы интегрирования- рациональная функция от двух переменных, могут быть приведены к более простому виду с помощью подстановки


Методы интегрирования. (*)


При этом используется формулы из тригонометрии:


Методы интегрирования ; Методы интегрирования;


Тогда:

Методы интегрирования; Методы интегрирования; Методы интегрирования (**)


Подстановка (*) называется универсальной тригонометрической подстановкой.

Пример1. Вычислить интеграл Методы интегрирования

Решение: Сделаем подстановку Методы интегрирования, пользуясь (**), получим

Методы интегрирования

=Методы интегрирования


В некоторых случаях можно использовать более простые подстановки. Рассмотрим эти случаи.

Замечание 1: Если целая или дробная рациональная функция Методы интегрирования не меняет своего значения при изменении знака у одного из аргументов, например, т. е. Методы интегрирования, то она может быть приведена к виду Методы интегрирования, содержащему лишь четные степени Методы интегрирования.

Если же, наоборот, при изменении знака Методы интегрирования функция Методы интегрирования так же меняет знак, т.е. Методы интегрирования, то она проводится к виду Методы интегрирования.

Рассмотрим три случая:

1. Пусть теперь Методы интегрирования меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, тогда

Методы интегрирования

и рационализация достигается подстановкой Методы интегрирования.

2. Аналогично, если Методы интегрирования меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, то

Методы интегрирования,


так что здесь целесообразна подстановка Методы интегрирования.

3. Предположим, наконец, что функция Методы интегрирования не меняет своего значения при одновременном изменении знаков Методы интегрирования и Методы интегрирования: Методы интегрирования. В этом случае, заменяя Методы интегрирования на Методы интегрирования будем иметь: Методы интегрирования. По свойству функции R , если изменить знаки Методы интегрирования и Методы интегрирования (отношение Методы интегрирования при этом изменяется):

Методы интегрирования а тогда, как мы знаем Методы интегрирования.

Поэтому


Методы интегрирования

=Методы интегрирования


Поэтому здесь используется подстановка Методы интегрирования.

Замечание 2. Каково бы ни было рациональное выражение Методы интегрирования, его можно представить в виде суммы трех выражений рассмотренных типов:


Методы интегрирования


Первое из этих выражений меняет знак при изменении знака Методы интегрирования, второе меняет знак при изменении Методы интегрирования, а третье сохраняет значение при одновременном изменении знаков Методы интегрирования и Методы интегрирования. Разбив Методы интегрирования на соответствующие слагаемые, можно к первому из них применить подстановку Методы интегрирования, ко второму - подстановку Методы интегрирования и, наконец, к третьему - подстановку Методы интегрирования. Таким образом, для вычисления Методы интегрирования достаточно этих трех подстановок.

Пример 2. Вычислить интеграл: Методы интегрирования

Решение: Методы интегрирования=Методы интегрирования

Если в выражение Методы интегрирования подставим Методы интегрирования в место Методы интегрирования, то дробь изменит знак на противоположный, поэтому здесь выгодна подстановка Методы интегрирования.


Методы интегрирования

Методы интегрирования


Пример 3. Вычислить интеграл Методы интегрирования

Решение: в этом случае можно сделать замену Методы интегрирования. Методы интегрирования

=Методы интегрирования

Интегралы от квадратов и других четных степеней Методы интегрирования и Методы интегрирования находят, применяя формулы понижение степени:

Методы интегрирования.

Задача. Интегрируя по частям, вывести формулы понижения степени:

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

В-1

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №5


1) Назовите универсальную подстановку, с помощью которой всегда достигается рационализация дифференциала вида (1) Методы интегрирования, и покажите, как ею пользоваться.

2) В каких условиях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой Методы интегрирования? Приведите доказательство.

3) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой Методы интегрирования? Приведите доказательство.

4) В каких случаях рационализация дифференциала (1) достигается подстановкой


Методы интегрирования?


5) Что такое «интегральный логарифм», «интегральный синус» и «интегральный косинус»?

6) Выведите рекуррентные формулы для вычисления интегралов вида Методы интегрирования.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №6


Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы

Интегрирование выражений вида


Методы интегрирования


Рассмотрим интеграл вида


Методы интегрирования, (1)


где Методы интегрирования означает рациональную функцию от двух аргументов, Методы интегрирования- натуральное число, Методы интегрированияпостоянные, причем Методы интегрирования. Полагаем


Методы интегрирования;.


Интеграл (I) примет вид: Методы интегрирования здесь дифференциал имеет уже рациональный вид, так как Методы интегрирования - рациональные функции.

Вычислив этот интеграл как интеграл от рациональной функции, вернемся к старой переменной, подставив Методы интегрирования.

К интегралу вида (I) сводятся и более общие интегралы


Методы интегрирования

где все показатели Методы интегрирования – рациональны; стоит лишь привести эти показатели к общему знаменателю Методы интегрирования, чтобы под знаком интеграла получить рациональную функцию от Методы интегрирования и от радикала Методы интегрирования.


Пример 1.


Методы интегрирования


Здесь дробно-линейная функция Методы интегрирования сводится к линейной функции:


Методы интегрирования

Методы интегрирования

Разложим данную дробь на простейшие


Методы интегрирования


Приведем к общему знаменателю правую часть равенства и приравняем числители, получим:


Методы интегрирования

Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Методы интегрирования в правой и левой частях, получим систему уравнений: Методы интегрирования. Решив систему, получим Методы интегрирования.


Методы интегрирования


Интегрирование биноминальных дифференциалов


Биноминальными называются дифференциалы вида


Методы интегрирования, (2)


где Методы интегрирования –любые постоянные, а показатели Методы интегрирования- рациональные числа.

Если Методы интегрирования- число целое, то мы получим выражение, изученное в I. Именно, если через Методы интегрирования обозначить наименьшее общее кратное знаменателей Методы интегрирования, то будем иметь выражение вида Методы интегрирования для рационализации которого достаточна подстановка Методы интегрирования.

Пусть Методы интегрирования- целое. Преобразуем теперь данное выражение подстановкой Методы интегрирования. Тогда Методы интегрирования и положив для краткости Методы интегрирования будем иметь


Методы интегрирования (3)


Если Методы интегрирования – целое число, то снова приходим к выражению изученного типа (2). Если обозначить через Методы интегрирования знаменатель дроби Методы интегрирования, то выражение будет иметь вид Методы интегрирования Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть сразу подстановкой:


Методы интегрирования


ПустьМетоды интегрирования- целое.

Перепишем второй из интегралов (3) так: Методы интегрирования При Методы интегрирования – целом снова имеем случай (2). Преобразованное выражение имеет вид: Методы интегрирования Подынтегральное выражение рационализируется сразу подстановкой Методы интегрирования.

Оба интеграла (3) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел: Методы интегрирования; или одно из чисел Методы интегрирования, Методы интегрирования

Пример 3. Методы интегрирования, где Методы интегрирования.

т. к. Методы интегрирования, то имеем 2-й случай интегрируемости.

Заметив, что Методы интегрирования, положим Методы интегрирования


Методы интегрирования


Пример 4.Методы интегрирования, где Методы интегрирования - третий случай интегрируемости, т. к. Методы интегрирования Заметив, что Методы интегрированияположим Методы интегрирования


Методы интегрирования

Методы интегрирования

III. Интегрирование выражений вида Методы интегрирования. Подстановки Эйлера.

Рассмотрим интеграл


Методы интегрирования (*)


где квадратный трехчлен Методы интегрирования не имеет равных корней.

Пусть Методы интегрирования>0. Тогда полагают Методы интегрирования. Возводя это равенство в квадрат, найдем Методы интегрирования отсюда:


Методы интегрирования


Если полученные выражения подставить в (*) , то вопрос сведется к интегрированию рациональных функции от Методы интегрирования. В результате, возвращаясь к Методы интегрирования, нужно будет положить Методы интегрирования.

Пусть Методы интегрирования>0. В этом случае можно положить Методы интегрирования. Положим


Методы интегрирования


Пусть Методы интегрированияимеем различные вещественные корни l и m .Тогда этот трехчлен разлагается на линейные множители Методы интегрирования Положим

Методы интегрирования


Если подставить сюда Методы интегрирования, то получим


Методы интегрирования

Методы интегрирования


Применим 2-ую подстановку


Методы интегрированияМетоды интегрирования ; Методы интегрирования;

Методы интегрированияМетоды интегрирования


Методы интегрированияМетоды интегрирования

=Методы интегрирования


Подставив Методы интегрирования получим Методы интегрированияМетоды интегрирования

Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №7


Определенный интеграл. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенных интегралов


Опр. 1. Разбиением Методы интегрирования отрезка называется множество точек Методы интегрирования, таких что Методы интегрирования, внутри каждой части возьмем произвольную точку Методы интегрирования, набор точек Методы интегрированияназывается разбиением Методы интегрированияс отмеченными точками Методы интегрирования

Обозначим Методы интегрирования

Опр. 2. Если функция Методы интегрирования определена на отрезке Методы интегрирования, а Методы интегрирования- разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма Методы интегрирования

Называется интегральной суммой функции Методы интегрирования, соответствующей разбиению Методы интегрирования с отмеченными точками отрезка Методы интегрирования.

Опр. 3. Число Методы интегрирования называется пределом интегральной суммы при Методы интегрирования, если для любого Методы интегрированиянайдется число Методы интегрирования такое, что для любого разбиения Методы интегрирования с отмеченными точками отрезка Методы интегрирования, параметр которого Методы интегрирования имеет место соотношение

Методы интегрирования для любого набора Методы интегрирования

Методы интегрирования

То этот предел называют определенным интегралом от функции Методы интегрирования по сегменту Методы интегрирования и обозначают Методы интегрирования

Опр. 4. Функция Методы интегрирования называется интегрируемой по Риману на отрезке, если существует предел вида II, причем функция Методы интегрирования называется подынтегральной функцией, число Методы интегрирования - нижний предел интегрирования, число Методы интегрирования- верхний предел интегрирования. Множество интегрируемых на Методы интегрирования функций будем обозначать Методы интегрирования

Пример 1. Вычислить исходя из определения интеграла Методы интегрирования.

Решение: по определению Методы интегрирования при Методы интегрирования,Методы интегрирования.

Разобьем отрезок [0,1] на n равных частей точками деления Методы интегрирования Длина каждого частичного отрезка Методы интегрирования причем Методы интегрирования

В качестве точек Методы интегрирования возьмем правые концы частичных отрезков Методы интегрирования

Составим интегральную сумму Методы интегрирования

Предел этой интегральной суммы при Методы интегрирования равен Методы интегрирования

Следовательно, Методы интегрирования

Свойства определенного интеграла:

I. Теорема I: Если Методы интегрирования и Методы интегрирования – интегрируемые на отрезке Методы интегрирования функции, то их линейная комбинация Методы интегрирования интегрируема на данном отрезке, причем Методы интегрирования

Методы интегрирования, Методы интегрированияМетоды интегрирования интегрируема на Методы интегрирования

Если Методы интегрирования < Методы интегрирования < Методы интегрирования и Методы интегрирования то Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования и имеет место равенство Методы интегрирования < Методы интегрирования < Методы интегрированияМетоды интегрирования

Сформулируйте остальные свойства определенного интеграла.

Теорема Ньютона-Лейбница.

Если Методы интегрирования-ограниченная, с конечным множеством точек разрыва функция, то Методы интегрированиягде Методы интегрирования-любая из первообразных функций на отрезке [a,b].

Пример 2. Вычислить интеграл Методы интегрирования

Решение: функция Методы интегрированияопределена на R.


Методы интегрирования


Замечание: Вычисляя интегралы с помощью формулы Ньютона-Лейбница, следует обратить внимание на условия законности ее применения.

Эта формула применяется для вычисления определенного интеграла от непрерывной на отрезке Методы интегрирования функции Методы интегрирования лишь тогда, когда равенство Методы интегрирования выполняется на всем отрезке Методы интегрирования.

Например, при вычислении интеграла Методы интегрирования нельзя брать в качестве первообразной функции Методы интегрирования, так как при Методы интегрированиянарушается равенство Методы интегрирования ( при Методы интегрирования это равенство имеет место). При Методы интегрирования функция Методы интегрирования разрывна и не может быть первообразной.

Пример 3. Можно ли применить формулу Ньютона-Лейбница к интегралу Методы интегрирования?

Решение: Нет, нельзя! Если формально вычислять этот интеграл по формуле Ньютона-Лейбница, то получим неверный результат. Действительно, Методы интегрирования. Но подынтегральная функция Методы интегрирования и, следовательно, интеграл не может равняться отрицательному числу. Суть дела заключается в том, что подынтегральная функция Методы интегрирования имеет бесконечный разрыв в точке Методы интегрирования, принадлежащей промежутку интегрирования. Следовательно, применение здесь формулы Ньютона-Лейбница незаконно.


Варианты


Вычислить интегралы: 1) – с помощью предельного перехода от интегральных сумм;

2)-7) по формуле Ньютона – Лейбница.

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №7


Что называется определенным интегралом от функции Методы интегрирования на отрезке Методы интегрирования?

Зависит ли величина определенного интеграла от способа разбиения Методы интегрирования? А от выбора промежуточного значения точек Методы интегрирования?

Каков геометрический смысл интегральной суммы определенного интеграла?

Укажите необходимое условие интегрируемости функции.

Как составляются суммы Дарбу? Какими свойствами они обладают?

Как связаны суммы Дарбу с интегральными суммами при фиксированном разбиении?

Каковы основные свойства определенных интегралов?

Сформулируйте и докажите теорему о среднем. Каков ее геометрический смысл?

Используя теорему о среднем, докажите непрерывность определенного интеграла с переменным верхним пределом как функции верхнего предела.

Известно, что непрерывная в данном промежутке функция всегда имеет в нем первообразную. Из какого свойства определенного интеграла это следует?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №8


Замена переменной в определенном интеграле и интегрирование по частям


Интегрирование по частям в определенном интеграле.

Утверждение 1: Если Методы интегрирования и Методы интегрирования дифференцируемы на отрезке с концами Методы интегрирования и Методы интегрирования; то справедливо соотношение:


Методы интегрирования,


где Методы интегрирования


Пример 1. Вычислить интегралМетоды интегрирования

Решение: положим Методы интегрирования, т. к. функции Методы интегрирования непрерывны и имеют производные на отрезке Методы интегрирования.

Пользуясь формулой интегрирования по частям, получим Методы интегрирования

Замена переменной в определенном интеграле.

Утверждение 2: Если Методы интегрирования непрерывно-дифференцируемое отображение отрезка a< t <b в отрезок Методы интегрированиятакое что Методы интегрирования и Методы интегрирования, то при любой непрерывной на [Методы интегрирования;Методы интегрирования] функции Методы интегрирования, функция Методы интегрирования непрерывна на отрезке [a;b] и справедливо равенство Методы интегрирования.

Пример 2. Вычислить интегралМетоды интегрирования

Решение: Применим подстановку Методы интегрирования считая , что Методы интегрирования функция Методы интегрирования на отрезке Методы интегрирования удовлетворяет всем условиям теоремы о замене переменной в определенном интеграле, так как она непрерывно – дифференцируема, монотонна и Методы интегрирования и так Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования так как Методы интегрирования на промежуткеМетоды интегрирования. Таким образом


Методы интегрирования


Варианты


Вычислить интегралы:

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №8


При каких условиях применима формула замены переменной в определенном интеграле?

Выведите указанную формулу.

Приведите пример определенного интеграла, который можно вычислить по формуле замены переменной. Вычислите его.

Почему справедливо сделанное выше замечание?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №9


Геометрические приложения определенного интеграла


Площадь плоской фигуры.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции Методы интегрирования=Методы интегрирования, (Методы интегрированияі0), двумя прямыми Методы интегрирования= Методы интегрирования, Методы интегрирования= Методы интегрирования и осью OX , или площадь криво-линейной трапеции, ограниченной дугой графика функции Методы интегрирования= Методы интегрирования,Методы интегрированияМетоды интегрирования в (рис.1), вычисляется по формуле :


Методы интегрирования

рис 1.


Площадь фигуры , ограниченной графиками непрерывных функции Методы интегрирования и Методы интегрированияМетоды интегрирования и двумя прямыми Методы интегрирования= Методы интегрирования, Методы интегрирования= Методы интегрирования (рис.2), определяется по формуле :


Методы интегрирования

Методы интегрированияМетоды интегрирования

рис. 2


Пример1. Найти площадь фигуры, лежащей в правой полуплоскости и ограниченной окружностьюМетоды интегрирования и параболой Методы интегрирования

Решение:

найдем точки пересечения кривых ( рис.3), решив систему уравнений


Методы интегрирования

рис. 3


Используя симметрию относительно оси OX , найдем искомую площадь как удвоенную сумму площадей криволинейных трапеций ,ограниченных соответственно дугами параболы Методы интегрирования, 0ЈxЈ2 и окружностью.Методы интегрирования


Методы интегрирования


Иногда удобно использовать формулы , аналогичные (1) и (2) , но по переменной Методы интегрирования (считая x функцией от Методы интегрирования), в частности


Методы интегрирования


Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения Методы интегрирования=Методы интегрированияМетоды интегрирования, Методы интегрирования=Методы интегрированияМетоды интегрирования, прямыми Методы интегрирования= Методы интегрирования, Методы интегрирования= Методы интегрирования и осью OX, то площадь вычисляется по формуле :


Методы интегрирования


где пределы интегрирование находятся из уравнений Методы интегрированияна отрезке Методы интегрирования.

Формула (4) применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой ( изменения параметра t от Методы интегрирования до Методы интегрированиядолжно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Пример2. Найти площадь петли кривойМетоды интегрированияМетоды интегрирования

Решение: Найдем точки пересечения кривой с координатами осями. Имеем : x=0 при t=Методы интегрирования; y=0 при t=0, t=Методы интегрирования.Следовательно, получаем следующие точки:

Методы интегрирования при t=1; Методы интегрирования при t=-1;

Методы интегрирования при t=0; Методы интегрирования при t=Методы интегрирования.

Точка Методы интегрирования является точкой самопересечения кривой. При Методы интегрирования

При Методы интегрирования(рис.4).

График функции Методы интегрирования; Методы интегрирования, Методы интегрирования при Методы интегрирования


Методы интегрирования


Площадь фигуры находим как удвоенную площадь верхней ее половины:


Методы интегрирования

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции Методы интегрирования и двумя лучами Методы интегрирования где Методы интегрирования - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора , ограниченного дугой графика функции Методы интегрирования, Методы интегрирования, вычисляется по формуле:


Методы интегрирования

Методы интегрирования


Пример 3. Найти площадь лунки , ограниченной дугами окружностей Методы интегрирования Окружности пересекаются при Методы интегрирования; рассматриваемая фигура ( рис.5) симметрична относительно луча Методы интегрирования .

График функции Методы интегрирования; Методы интегрирования, Методы интегрирования при Методы интегрирования

Методы интегрирования


Следовательно, ее площадь можно вычислять так: Методы интегрирования


Варианты

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №9


Какая фигура называется квадрируемой? Какие вы знаете условия квадрируемости?

Какими свойствами обладает квадрируемая фигура?

Как вычисляется площадь плоской фигуры, ограниченной прямыми Методы интегрирования и непрерывными кривыми Методы интегрирования и Методы интегрирования, при условии, что Методы интегрирования для Методы интегрирования?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №10


Геометрические приложения определенного интеграла


Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением Методы интегрированияМетоды интегрирования, то длина ее дуги равна Методы интегрирования, где Методы интегрирования и Методы интегрирования – абсциссы концов.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями Методы интегрированиято Методы интегрированияМетоды интегрирования

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями Методы интегрирования


Методы интегрирования


Если задано полярное уравнение гладкой кривой Методы интегрированиято


Методы интегрирования


Пример I. Найти длину дуги полукубической параболы Методы интегрирования от начала координат до точки (4;8).

Решение: имеем Методы интегрирования3/2,Методы интегрированияМетоды интегрированияМетоды интегрированияМетоды интегрирования

Пример 2. Найти длину астроиды Методы интегрирования.

Решение: имеем Методы интегрирования


Методы интегрирования


откуда Методы интегрирования.


Пример 3. Найти длину кардиоиды Методы интегрирования>0.

Решение: имеем Методы интегрирования


Методы интегрирования


откуда Методы интегрирования.


Варианты

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования

Методы интегрирования


Вопросы к лабораторной работе №10


Какая кривая называется спрямляемой? Что называется длиной дуги?

Всякая ли ограниченная кривая имеет конечную длину? Приведите пример.

Сформулируйте необходимое и достаточное условие спрямляемости плоской жордановой кривой.

Как вычисляется длина дуги в декартовых и полярных координатах?

ЛИТЕРАТУРА


Зорич В.А. Математический анализ, ч.I – М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1981

Ильин В.А., Позняк З.Г. Основы математического анализа, ч.I – М.: Наука, 1971

Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, т.I, II, III. – М.: Наука, 1969

Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.I. – М.: Высшая школа, 1981

Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: Учебное пособие для студентов втузов. М.: Высшая школа, 1986. В двух частях. Ч.I.

Берман Н.Г. Сборник задач по курсу математического анализа: Учебное пособие для вузов. М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1985

Лихолетов И.И., Мацкевич И.П. Руководство к решению задач по высшей математике, теории вероятностей и математической статистике. – Минск: Вышейшая школа, 1969

Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1964

Куницкая Е.С., Рывкин А.З., Смолянский М.Л. Задачник – практикум по математическому анализу. Ч.II Интегральное исчисление функций одной переменной. М.: Просвещение, 1968

Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н., Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. 3-е изд. М.: Айрис-пресс,


Информация о работе «Методы интегрирования»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 25492
Количество таблиц: 0
Количество изображений: 77

Похожие работы

Скачать
23262
2
23

... ____________________________  подпись " ______ " ________________ 2007 г. Студент ____________________________ Подпись " ____ " _________________ 2007 г. Содержание 1. Постановка задачи АНАЛИЗ Численные методы интегрирования (Исследование устойчивости САУ) Для заданной системы требуется определить: Передаточную функцию замкнутой системы, для случая ; Корни характеристического ...

Скачать
5998
0
0

м методом на прямоугольных сетках в сферической системе координат. При этом возникает проблема решения вырожденных эллиптических уравнений со смешанными производными. Разностная аппроксимация таких уравнений приводит к разностным схемам, для которых не выполнено условие монотонности даже при аппроксимации в терминах потоков. Запись этих уравнений в дипольной системе координат после аппроксимации ...

Скачать
24984
1
11

... для курсовой работы, заключающегося в интегрирования ОДУ, была составлена и отлажена программа, приведенная в приложении А. С помощью данной программы проведена серия опытных исследований свойств методов Рунге-Кутты второго и четвёртого порядков. При задании определенного интервала значений шага интегрирования ошибка интегрирования уменьшается с уменьшением шага. Подтверждение сего факта можно ...

Скачать
10961
5
3

... уменьшается количество вычислений подынтегральной функции. Другая схема уточнения значений интеграла - процесс Эйтнена. Производится вычисление интеграла с шагами, причем . Вычисление значений . Тогда (14). За меру точности метода Симпсона принимают величину :   5. Примеры   Пример 1. Вычислить интеграл  по формуле Симпсона, если  задана таблицей. Оценить погрешность. Таблица 3. ...

0 комментариев


Наверх