Вироджена гіпергеометрична функція

3. Вироджена гіпергеометрична функція

Поряд з гіпергеометричною функцією F( , , ,z), важливу роль у теорії спеціальних функцій грає так звана Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z).

Щоб визначити цю функцію, помітимо, що статечної ряд

де z – комплексне змінне, і - параметри, які можуть приймати будь-які речовинні або комплексні значення, крім =0,-1,-2,…і символ  позначає величину

==1

сходиться при будь-яких кінцевих z.

Тому що, якщо позначити через  загальний член ряду, те

= 0, коли k .

Вироджена гіпергеометрична функція F( , ,z) визначається як сума розглянутого ряду

F( , ,z)= , 0,-1,-2,…,< (4.1)

З даного визначення випливає, що F( , ,z) функція комплексного змінного z.

Якщо покласти

f( , ,z)=  F( , ,z)= , (4.2)

те f( , ,z) при фіксованому z буде цілою функцією від  і . Дійсно, члени ряду (6.2) є цілими функціями цих змінних, і ряд сходиться рівномірно в області <A, <C.

Думаючи

, маємо для досить більших k

=

Звідси треба, що при заданому z функція F( , ,z)

представляє цілую функцію  й мероморфну функцію  із простими полюсами в крапках =0,-1,-2,…

Функція F( , ,z) досить часто зустрічається в аналізі, причому головне її значення полягає в тому, що багато спеціальних функцій можуть розглядатися як її окремі випадки, що значною мірою полегшує побудову теорії цих функцій і надає їй загальний і компактний характер.

Зв'язок функції F( , ,z) з гіпергеометричною функцією дається співвідношенням

F( , ,z)=lim F( , , , ) (4.3)

З визначення виродженої гіпергеометричної функції безпосередньо випливають рівності

 F( , ,z)=  F( +1, +1,z) (4.4)

 F( , ,z)=  F( +m, +m,z) m=1,2,... (4.5)

і рекурентні співвідношення

( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=0 (4.6)

F- F( -1)-zF( +1)=0 (4.7)

( -1+z)F+( - )F( -1)-( -1)F( -1)=0 (4.8)

( +z)F- F( +1)-( - )zF( +1)=0 (4.9)

( - )F( -1)+(2 - +z)F- F( +1)=0 (4.10)

( -1)F( -1)- ( -1+z)F+( - )zF( +1)=0 (4.11)

єднальну функцію F F( , ,z) із двома будь-якими суміжними функціями

F( 1)  F( 1, ,z) і F(1)  F( , 1,z)

Формули (4.6) і (4.7) доводяться шляхом підстановки ряду (4.1) інші рекурентні співвідношення виходять із них у результаті простих алгебраїчних операцій.

( - -1)F+ F ( +1)-( -1)F( -1)=

= {( - -1) + -( -1) }z^k=

= { - -1+ ( +k)- ( +k-1)} z^k=

= { - -1+ +k- -k+1)} z^k=0

F- F( -1)-zF( +1)=

= { - - } z^k=

= { ( +k-1)- ( -1)-k } z^k=

= { + k- - - -k } z^k=0.

Повторне застосування рекурентних формул приводить до лінійних співвідношень, що зв'язують функцію F( , ,z) з родинними функціями F( +m, +n,z), де m,n- задані цілі числа. Прикладами подібних співвідношень можуть служити рівності:

F( , ,z) = F( +1, ,z)- F( +1, +1,z) (4.12)

F( , ,z)= F( , +1,z) + F( +1, +1,z) (4.13)

Похожие работы

Карл Фрідріх Гаусс

Скачать

16883

0

1

... з арифметики: відшукати суму деякої кількості натуральних послідовних чисел. Учитель вважав, що учні досить довго шукатимуть відповідь. Але через кілька хвилин Карл розв'язав задачу. Коли вчитель проглянув розв'язання, то побачив, що малий Гаусс винайшов спосіб скороченого знаходження суми членів арифметичної прогресії. Щасливий випадок звів Гаусса з першим у навчанні учнем цієї самої школи – ...