Навигация
Входящий поток. Простейший поток и его свойства
87889
знаков
14
таблиц
8
изображений
1.3.2 Входящий поток. Простейший поток и его свойства
События, образующие входящий поток, вообще говоря, могут быть различными, но здесь будет рассматриваться лишь однородный поток событий, отличающихся друг от друга только моментами появления. Такой поток можно представить в виде последовательности точек 
на числовой оси (рис. 1.3), соответствующих моментам появления событий.
 |
Рис. 1.3 - Однородный поток событий
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени. Такие потоки редко встречаются в реальных системах, для которых типичным является именно случайность моментов поступления требований. Рассмотрим случайный входящий поток, обладающий особенно простыми свойствами.
Введем ряд определений:
Поток событий называется стационарным, если вероятность поступления заданного числа событий в течение интервала времени фиксированной длины зависит только от продолжительности этого интервала, но не зависит от его расположения на временной оси.
Поток событий называется ординарным, если вероятность появления двух или более событий в течение элементарного интервала времени 
есть величина бесконечно малая по сравнению с вероятностью появления одного события на этом интервале.
Поток событий называется потоком без последействия, если для любых не перекрывающихся интервалов времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.
Если поток событий удовлетворяет всем трем перечисленным условиям (т. с. он стационарен, ординарен и не имеет последействия), то он называется простейшим потоком. Для простейшего потока число событий, попадающих па любой фиксированный интервал времени, распределено по закону Пуассона, поэтому его иначе называют стационарным пуассоновским.
Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, постоянной является плотность потока — среднее число заявок в единицу времени. Заметим, что свойство стационарности выполняется, по крайней мере на ограниченном отрезке времени, для многих реальных процессов.
Условие ординарности означает, что заявки поступают в систему поодиночке, а не парами, тройками и т. д. Например, поток обстрелов, которому подвергается воздушная цель в зоне действия комплекса ЗРВ, является ординарным, если стрельба ведется одиночными ракетами, и не является ординарным, если стрельба идет одновременно двумя или тремя ракетами.
Условие отсутствия последействия является наиболее существенным для простейшего потока. Выполнение этого условия означает, что заявки поступают в систему независимо друг от друга. Например, можно сказать, что последействие отсутствует для потока пассажиров, входящих в метро, так как отсутствует зависимость между причинами, вызвавшими приход каждого из пассажиров на станцию. Но как только эта зависимость появляется, условие отсутствия последействия нарушается. Например, поток пассажиров, покидающих станцию метро, уже не обладает свойством последействия, так как моменты выхода для пассажиров, прибывших на станцию одним и тем же поездом, зависимы между собой.
Вообще следует заметить, что выходящие потоки заявок, покидающих систему обслуживания, обычно имеют последействие, даже если входящий поток его не имеет. В этом легко убедиться на примере рассмотрения выходящего потока для одноканальной системы массового обслуживания с фиксированным временем обслуживания 
. Выходящий поток такой системы обладает тем свойством, что минимальный интервал между последовательными обслуженными заявками будет равен 
. При этом, если в некоторый момент 
систему покинула заявка, то можно утверждать, что на интервале 
обслуженных заявок больше не появится и, таким образом, имеется зависимость между числом событий на не перекрывающихся интервалах.
Отметим, что, если на систему обслуживания поступает самый простой, на первый взгляд, регулярный поток, анализ процессов функционирования системы является существенно более сложным, чем, например, при поступлении простейшего потока, именно вследствие жесткой функциональной зависимости, которая имеет место для заявок регулярного потока.
В дальнейшем будет рассматриваться только простейший входящий поток в силу особой его роли в теории массового обслуживания.
Дело в том, что простейшие или близкие к простейшим потоки заявок часто встречаются на практике. Кроме того, при анализе систем обслуживания во многих случаях можно получить вполне удовлетворительные результаты, заменяя входящий поток любой структуры простейшим с той же плотностью. Наконец, важное свойство простейшего потока состоит в том, что при суммировании большого числа ординарных, стационарных потоков с практически любым последействием получается поток, сколь угодно близкий к простейшему. Условия, которые должны при этом соблюдаться, аналогичны условиям центральной предельной теоремы: складываемые потоки должны оказывать на сумму равномерно малое влияние.
Получим аналитическое описание простейшего потока и рассмотрим его свойства подробнее.
 |
Рис. 1.4 - Простейший поток событий
Рассмотрим на оси 
простейший поток событий 
(рис. 1.4) как неограниченную последовательность случайных точек. Выделим произвольный интервал времени длиной 
. Как уже отмечалось, если поток событий является простейшим, то число событий, попадающих на интервал т, распределено по закону Пуассона с математическим ожиданием
(1.18)
где 
- плотность потока.
В соответствии с законом Пуассона вероятность того, что за время 
произойдет ровно т событий, равна
(1.19)
Тогда вероятность того, что не произойдет ни одного события, будет
(1.20)
Отсюда вероятность того, что за время 
произойдет хотя бы одно событие, равна
(1.21)
Важной характеристикой потока является закон распределения длин интервалов между событиями. Пусть 
- случайная длина интервала времени между двумя произвольными соседними событиями в простейшем потоке (рис. 1.4) и 
- искомый закон распределения продолжительности временного интервала между последовательными событиями. С другой стороны, вероятность
может быть интерпретирована как вероятность появления хотя бы одного события в течение временного интервала продолжительностью t, начинающегося в момент поступления в систему некоторого события.
Поскольку простейший поток не обладает последействием, наличие события в начале интервала t не оказывает никакого влияния на вероятность появления событий в дальнейшем. Поэтому вероятность
может быть вычислена по формуле
(1.22)
откуда, имея в виду (1.20),
(1.23)
Дифференцируя (1.23), находим плотность распределения длин интервалов между последовательными событиями
(1.24)
Закон распределения с плотностью (1.24) называется показательным с параметром λ.
Похожие работы
... называемые правила бизнеса) реализуются прикладными программами на клиентских установках (RDA-модель) или на сервере приложений (AS-модель). 2. Автоматизированные системы сбора, хранения и анализа информации Автоматизированные информационные системы (АИС) относятся к классу сложных систем, как правило, не столько в связи с большой физической размерностью, сколько в связи с многозначностью ...
... , практически, не используются. Проблема информатизации Минторга может быть решена путем создания Автоматизированной Информационной системы Министерства Торговли РФ (АИС МТ РФ) в соответствии с настоящим Техническим предложением. ГЛАВА 2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ КОМПЛЕКСА ЗАДАЧ "СИСТЕМА ДОКУМЕНТООБОРОТА УЧЕРЕЖДЕНИЯ”. функции поиска и архивации 2.1. Постановка задачи и её спецификация ...
... стоящая за ним проблема информатизации общества. Внедрение современных информационных технологий в библиотечную деятельность, возможность предоставления информации из сколь угодно удаленных источников по каналам связи коренным образом меняют положение библиотек в стуктуре современного общества. Принципиально по-новому решаются проблемы своевременного получения научной информации, без чего сегодня ...
... равновесия между полнотой отчуждения и мерами защиты тайны должны выполняться тремя различными максимально независимыми друг от друга субъектами». Сформулированные принципы управления информационным производством могут эффективно действовать только в условиях жесткой технологической дисциплины, вынуждающей всех субъектов производства придерживаться этих принципов. Это возможно только тогда, ...
0 комментариев