Задача 11

11. Задача 11

Найти произведения  и  квадратных матриц  и

Решение

Обе перемножаемые матрицы третьего порядка, поэтому умножение их всегда возможно по обычному правилу:

1.  Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

2. Находим обратное произведение матриц (умножение справа налево)

12. Задача 12

Найти произведение  прямоугольных матриц

Решение

1. Сопоставляя размеры заданных матриц

,

устанавливаем, что эти прямоугольные матрицы можно перемножать, при этом результирующая матрица будет иметь размеры 3х1:

2. Находим прямое произведение матриц (умножение слева направо)

13. Задача 13

Решить систему линейных уравнений методами Гаусса, Крамера и в матричной форме

Решение

1. Решаем систему методом Крамера, учитывая, что в общем случае, решение методом Крамера имеет вид:

то есть решение сводится к вычислению четырех определителей третьего порядка.

2. Вычисляем определитель системы:

так как определитель системы , следовательно, система имеет решение и при этом одно.

3. Вычисляем остальные определители:

4. Вычисляем значения неизвестных:

Итак, решение системы имеет вид: (1, 2, 1).

2. Решение в матричной форме.

В общем случае решение СЛАУ в матричной форме имеет вид:

.

1. Записываем компоненты заданной СЛАУ в явном виде:

, ,

2. Вычисляем определитель матрицы :

Итак, матрица  неособенная и для нее существует обратная матрица .

3. Вычисляем алгебраические дополнения для всех элементов матрицы:

4. Записываем присоединенную матрицу в явном виде:

5. Вычисляем обратную матрицу :

6. Проверяем достоверность вычисления обратной матрицы по условию:

Следовательно, обратная матрица вычислена верно.

7. Решаем заданную систему уравнений:

 или (1, 2, 1).

3. Метод Гаусса

1. Запишем СЛАУ в виде матрицы, расширенной за счет элементов правой части ее:

Первую строку оставляем без изменения. Умножаем элементы первой строки на (-3) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки. Получим:

Затем умножаем элементы первой строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки.

Умножаем элементы третьей строки на (-2) и прибавляем к соответствующим элементам второй строки.

Первую и вторую строки оставляем без изменения. Умножаем элементы второй строки на 3 и прибавляем к соответствующим элементам третьей строки. Получим:

Вычисляем значения переменных СЛАУ снизу вверх:

Итак, решение системы уравнений имеет вид:

, ,

или в краткой форме: (1,2,1).

14. Задача 14

Определить число элементарных событий и простых соединений

Сколько есть двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

Решение

Всего четных цифр 4 (2,4,6,8), значит существует 4 способа выбора первой цифры двузначного числа и 4 способа выбора второй цифры. Так как выбор цифр осуществляется одновременно, по правилу произведения вычислим количество двузначных чисел, у которых обе цифры четные:

15. Задача 15

Вычислить вероятность события по классической схеме

Имеется 6 билетов в театр, 4 из которых на места первого ряда. Какова вероятность того, что из 3 наудачу выбранных билета 2 окажутся на места первого ряда?

Решение

1. Определяем общее количество способов, которыми можно взять 3 билета из 6.

2. Определяем количество способов взять три билета, в том числе два на места первого ряда и один на другой ряд:

3. Вероятность искомого события:

16. Задача 16

Вычислить вероятность события с использованием теорем сложения и умножения.

Охотник выстрелил три раза по удаляющейся мишени. Вероятность попадания в нее в начале стрельбы равна 0,8, а после каждого выстрела уменьшается на 0,1. Найти вероятность того, что он попал в цель все три раза.

Решение

Пусть

P(A) – вероятность попадания 3 раза,

P(B) – вероятность попадания в 1-й раз,

P(C) – вероятность попадания во 2-й раз,

P(D) – вероятность попадания в 3-й раз.

Тогда

P(B)=0,8

P(C)= P(B)-0,1=0,8-0,1=0,7

P(D)= P(C)-0,1=0,7-0,1=0,6

P(A)=P(B) ∙P(C) ∙P(D)=0,8∙0,7∙0,6=0,336

17. Задача 17

Вычисление вероятности повторных независимых испытаний

Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не более трех девочек. Вероятность рождения мальчиков и девочек считаем одинаковой.

Решение

Используем формулу Я. Бернулли:

1. Определяем исходные данные для формулы Бернулли:

n=5, k=3, p=0,5, q=1-0,5=0,5

2. Вычисление вероятности искомого события:

18. Задача 18

Найти законы распределения случайных величин  и , если законы распределения случайных величин  и  имеют вид

	0	2	4	6
	0,1	0,2	0,3	0,4

	3	5	7	9
	0,3	0,2	0,2	0,3

Решение

Вычисления производим в табличной форме на основании определения разности и произведения случайных величин.