Обчислення

2 Обчислення

 

Заміна змінних в невласних інтегралах.

Нехай в площинах ху і ξ𝜂 маємо, відповідно, обмежені області (D) і (∆), зв'язані формулами перетворення:

або зворотними їм:

з дотриманням всіх умов.

Нехай, далі, в області (D) задана функція неперервна усюди, за винятком граничного числа окремих точок або навіть кривих, де вона звертається в нескінченність.

Покажемо, що за цих умов рівність

має місце, якщо лише збігається один з цих інтегралів; збіжність іншого звідси вже випливатиме.

Дійсно, якщо особливі точки і особливі лінії першого інтеграла в області (D) виділити їх околами, то відповідними околами в області (∆) виділяться особливі точки і особливі лінії другого інтеграла. Нехай при цьому вийдуть область (D') на площині ху і область (∆') на площині ξ𝜂. Тоді

Передбачаючи неперервність відповідності між областями (D) і (∆) в обидві сторони , легко побачити, що при «стисканні» околів на площині ху до оточених ними точок або ліній такий же процес відбуватиметься і з околами на площині і навпаки. Звідси ясно, що, переходячи в попередньому співвідношенні до границі, із збіжності одного з інтегралів ми дійсно можемо говорити про збіжність іншого і в той же час про наявність рівності (15).

Можна було б допустити навіть, що в окремих точках області (∆) або уздовж окремих лежачих в ній ліній (не пересікають раніше розглянутих в цій області особливих ліній) звертається в нескінченність якобіан J(ξ,𝜂), а з ним і підінтегральна функція другого з інтегралів. Хоча відповідні точки і лінії на площині ху не є особливими для першого інтеграла, але їх виділення, по зауваженню, не створює скрути, так що при нових припущеннях висновок залишається в силі.

Відмітимо ще, що і в даному випадку часто доводиться стикатися з порушенням неперервності або взаємної однозначності відповідності в окремих точках або уздовж окремих ліній.

Нарешті, звернемося до випадку, коли хоч одна з областей (D), (∆) є необмеженою.

Якщо ці області тягнуться в нескінченність, причому точки їх, що знаходяться на кінцевій відстані, зв'язані відповідністю (14) або (14а), то, відокремивши (відповідними) кривими обмежені частини цих областей, (Dʹ) і (∆ʹ), ми при дотриманні вказаних вище умов матимемо рівність (16). Оскільки згадані криві, вочевидь, можуть віддалятися в нескінченність лише одночасно, то залишається лише перейти в (16) до межі, аби отримати (15), причому знову із збіжності одного з інтегралів випливає збіжність іншого.

Нехай тепер, скажімо, область (D) прямує в нескінченність, а область (∆) ні, і точки області (D) зв'язані відповідністю зі всіма точками області (∆), за винятком окремої точки (або кривої), яка, так би мовити, відповідає нескінченно видаленій частині контура області (D).

Відокремивши кривою обмежену частину області (D), ми відповідній кривій в області (∆) виділимо згадану точку (або криву) і тим отримаємо області (Dʹ) і (∆ʹ), до яких вже прикладені колишні міркування. Відмітимо, що заміна змінних разом з переходом до повторного інтегралу є вельми зручним засобом для встановлення існування невласних подвійних інтегралів.

3 Приклади

 

1)  Встановити умови збіжності інтегралів (m>0);

Рішення. У полярних координатах ці інтеграли зведуться до наступних:

Вочевидь, умови збіжності будуть:

(а) m<1, (б) m>1, (в) m<1.

2) Аналогічне питання по відношенню до інтегралів ()

Вказівка. Вдатися до підстановки

Відповідь. (а) (б) (в)

Ті ж відповіді вийдуть і у разі, коли зміна змінних в задачах 1), 2) обмежується сектором між променями θ = θ₀ і θ = θ₁.

3) Якщо область (D₁) зміни змінних х,y криволінійний трикутник АОВ, обмежений відрізком АO осі х, дугою ОВ параболи y = х² і дугою ВА кола x²+y²= 1, то інтеграл

для якого початок як і раніше слугує особливою точкою, все ж існує (хоча не існує для круга!). Дійсно, при переході до полярних координат інтеграл утворюється до вигляду

звідки і витікає сказане.

4) Аналогічно, взявши за область трикутник АОС (той же малюнок), можна встановити існування інтеграла

для якого особливими будуть точки А і С. Так як в полярних координатах рівняння лінії АС буде , то запропонований інтеграл зводиться до наступного:

який явно існує.

5) На порівнянні з інтегралами, розглянутими в 1),ґрунтується наступна ознака збіжності:

Якщо (D) є: (а) обмежена область, що містить початкову точку, або (б) область, що тягнеться в нескінченність, не містить початкової точки, то інтеграл від функції f(x,y) в (D) збігається, оскільки f(x,y) в (D) може бути представлена у вигляді

де  обмежена і, відповідно випадку, (а) т<1 або (б) m>1.

Легко перефразувати цю ознаку для випадку, коли початкова точка замінена будь-якою точкою (х₀, у₀).

6) Перевірити збіжність подвійного інтеграла від функції

поширеного на: (а) трикутник ОВС, (б) квадрат ОАВС, (в)нескінченну смугу YСВЕ, (г) нескінченний трикутник ЕВG, (д) нескінченний квадрат EВF.

Через  позначений кут променя OB з полярною віссю.

Відповідь. У випадках (а), (г) інтеграл не сходиться (тим більше це справедливо для випадків (б)і(д)!); у випадку (в) інтеграл збігається, він рівний

7) Подвійний інтеграл

існує,або існує повторний:

Його легко обчислити, якщо перейти до полярних координат; перший квадрант, на площині ху перетвориться при цьому в смугу на площині r обмежену прямими  = 0, r = 0 і  = . Таким чином,

Тому, що

Відповідь. Інтеграл рівний .

Висновок

У цій курсовій роботі розглянуто означення і основні властивості невласного подвійного інтеграла, особливості і відмінності від інших визначених інтегралів.

Вказані задачі приводять до двох пов'язаних між собою видів інтегралів: невизначеного і визначеного. Вивчення властивостей і обчислення цих інтегралів і складають основну задачу інтегрального. числення. Введений визначений інтеграл як границя інтегральних сум, передбачаючи при цьому, що відрізок інтегрування скінченний, а інтегральна функція на цьому відрізку обмежена. Якщо хоча б одна з цих умов порушувалась, то наведене вище означення визначеного інтеграла стає неприйнятним: у випадку нескінченного проміжку інтегрування його не можна розбити на п частинних відрізків скінченної довжини, а у випадку необмеженої функції інтегральна сума явно не має скінченної границі. Узагальнюючи поняття визначеного інтеграла на ці випадки, приходимо до невласного інтеграла — інтеграла від функції на необмеженому проміжку або від необмеженої функції.

За допомогою курсової роботи ми навчилися визначати умови існування, методи, способи обчислення невласних подвійних інтегралів і розглянули деякі приклади. Отже, можемо стверджувати, що невласні подвійні інтеграли є самостійним інструментом для розв’язку певного класу задач.

Список літератури

1.  Дубовик В.П., Юрик І.І. Вища математика: Навч. посібник. – К.: А.С.К., 2001. - 648 с. .: іл.: іл.

2.  Шкіль М. І. Математичний аналіз: Підручник: У 2ч. Ч.1- 3-тє вид., переробл. і доповн. – К .: Вища шк.. , 2005. – 447с.: іл.

3.  Фіхтенгольц Г. М. Основи математичного аналізу. Том 1:Учебник. – М.:Печатный двор, 1957г. – 440с.:илл.

4.  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчесления. Том 3: Учебн. пособиэ. – М.: Наука, 1969г. – 656с.:илл.

5.  Лиман В.Ф., Власенко В.Ф., Петренко С.В., Одінцова О.О., Семеніхіна О.В. Вища математика: Навч. посібник. У2 ч. – Суми: ВТД «Університетська книга», 2005. – 614с.:іл.

6.  Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа, т.2.  М.: Высшая школа, 1965. – 369с

7.  Градштейнб Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов произведений.М.: Наука, 1963 – 312с.

8.  Давидов М.О. Курс математчного анализу. Ч. 1. – К.:Вища школа, 1990. – 350с.

9.  Канторович Л.В., Акилов Г.Л. Функциональный анализ. – М.: ИЛ, 1961 – 321с.