Вычисление случайных величин

3901
знак
9
таблиц
5
изображений

Задача №1.

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет равномерное распределение вероятностей в треугольной области ABC:

где S – площадь треугольника ABC.

Определить плотности случайных величин X и Y, математические ожидания M(X) и M(Y), дисперсии D(X) и D(Y), а также коэффициент корреляции . Являются ли случайные величины X и Y независимыми?

Решение.

Разделим область ABC на две равные части вдоль оси OX, тогда из условия

 или

следует, что

Тогда плотность двумерной случайной величины (X,Y):


Вычислим плотность составляющей X:

при ,

откуда плотность составляющей X –

Вычислим плотность составляющей Y:

при ,

при ,

Поэтому плотность составляющей Y –

Найдем условную плотность составляющей X:

при ,  случайные величины X и Y зависимы.

Найдем математическое ожидание случайной величины X:


Найдем дисперсию случайной величины X:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

Найдем математическое ожидание случайной величины Y:

Найдем дисперсию случайной величины Y:

Найдем среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:


Найдем математическое ожидание двумерной случайной величины (X,Y):

Тогда ковариация: ,

а значит и коэффициент корреляции

Следовательно, случайные величины X и Y - зависимые, но некоррелированные.

Задача №2

Двумерная случайная величина (X,Y) имеет следующее распределение вероятностей:

Y X
3 6 8 9
-0,2 0,035 0,029 0,048 0,049
0,1 0,083 0,107 0,093 0,106
0,3 0,095 0,118 0,129 0,108

Найти коэффициент корреляции между составляющими X и Y.

Решение.


Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины X:

X 3 6 8 9

0,213 0,254 0,270 0,263


Проверка: + + + = 0,213 + 0,254 + 0,270 + 0,263 = 1.

Таблица распределения вероятностей одномерной случайной величины Y:

Y -0,2 0,1 0,3

0,161 0,389 0,450

Проверка: + + = 0,161 + 0,389 + 0,450 = 1.

Вычислим числовые характеристики случайных величин X и Y.

1. Математическое ожидание случайной величины X:

2.


Математическое ожидание случайной величины Y:

3. Дисперсия случайной величины X:

4. Дисперсия случайной величины Y:

5. Среднеквадратическое отклонение случайной величины X:

6. Среднеквадратическое отклонение случайной величины Y:

Таблица распределения вероятностей случайной величины X-M(X):

X-M(X) 3-M(X) 6-M(X) 8-M(X) 9-M(X)

0,213 0,254 0,270 0,263

Таблица распределения вероятностей случайной величины Y-M(Y):

Y-M(Y) -0,2-M(Y) 0,1-M(Y) 0,3-M(Y)

0,161 0,389 0,450

Таблица распределения вероятностей случайной величины [X-M(X)][Y-M(Y)]:

[X-M(X)][Y-M(Y)] 1,260873 0,153873
P 0,035 0,083
-0,584127 0,235773 0,028773 -0,109227 -0,447627
0,095 0,029 0,107 0,118 0,048
-0,054627 0,207373 -0,789327 -0,096327 0,365673
0,093 0,129 0,049 0,106 0,108

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

11. 

12. 

Найдем ковариацию:


Найдем коэффициент корреляции:

Ответ: -0,028.

Задача №3

 

Рост, см

(X)

Вес, кг (Y)
22,5-25,5 25,5-28,5 28,5-31,5 31,5-34,5 34,5-37,5
117,5-122,5 1 3 - - -
122,5-127,5 - 2 6 1 -
127,5-132,5 - 1 5 5 -
132,5-137,5 - 1 6 7 2
137,5-142,5 - - 1 4 2
142,5-147,5 - - - 1 1
147,5-152,5 - - - - 1

Результаты обследования 50 учеников:

По данным таблицы требуется:

-   написать выборочные уравнения прямых регрессии Y на X и X на Y;

-   вычертить их графики и определить угол между ними;

-   по величине угла между прямыми регрессии сделать заключение о величине связи между X и Y.

Решение.

Принимая рост всех учеников, попавших в данный интервал, равным середине этого интервала, а вес – равным середине соответствующего интервала, получим так называемую корреляционную таблицу:

Для роста X получим:

1. Выборочная средняя –

2. Дисперсия выборочная исправленная –

Для веса Y получим:

1.  Выборочная средняя -

 

2.  Дисперсия выборочная исправленная –

 


Найдем выборочный коэффициент корреляции:

Найдем значения коэффициентов регрессии:

Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

Уравнение прямой регрессии X на Y имеет вид:


 - угол между прямыми регрессии.

 

Следовательно, связь между X и Y не тесная.


Информация о работе «Вычисление случайных величин»
Раздел: Математика
Количество знаков с пробелами: 3901
Количество таблиц: 9
Количество изображений: 5

Похожие работы

Скачать
26423
6
2

... Впрочем, для наиболее распространённых псевдослучайных чисел период столь велик, что превосходит любые практические потребности. Подавляющее большинство расчётов по методу Монте-Карло осуществляется с использованием псевдослучайных чисел. Значения любой случайной величины можно получить путём преобразования значений одной какой-либо случайной величины. Обычно роль такой случайной величины играет ...

Скачать
42313
0
9

... 42.2. Пусть , тогда неравенство Чебышева (42.1) имеет вид . (42.3) Теперь минимальное уклонение  можно измерять в единицах среднеквадратического уклонения  случайной величины , т.е. положить , (42.4) где  - коэффициент пропорциональности. Подставим (42.4) в (42.3), тогда . (42.5) Если правая часть , то (42.5) не представляет ...

Скачать
27801
1
12

... , очень мала и равна 0,0027. Такие события считаются практически невозможными. В этом и состоит правило «трех сигм»: если случайная величина распределена по нормальному закону, то ее отклонение от математического ожидания практически не превышает±3σ. Понятие о теоремах, относящихся к группе «центральной предельной теоремы» В теоремах этой группы выясняются условия, при которых возникает ...

Скачать
20614
1
1

... = 1, 2, …, N). Эта формула и носит название формулы Байеса или теоремы гипотез. Используется она в теории проверки статистических гипотез (в частности, в теории обнаружения сигналов на фоне помех). 4. Случайные величины и их законы распределения Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им ...

0 комментариев


Наверх