Вивід формул для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

2. Вивід формул для параметрів ермітових сплайнів з експоненціальними ланками

Сімейство цих ермітових сплайнів має ланку, яку подано виразом (1). Оскільки наближаючий вираз (1) не змінює знака, то цим виразом можна наближати функції, що не змінюють знака. Припустимо для конкретності, що . Побудуємо ланки ермітового сплайна при .

При  отримаємо ермітовий сплайн з парною кількістю параметрів .

Ланка такого сплайна має вигляд

. (6)

Згідно означення 1 параметри ланки ермітового сплайна (2) з ланкою (6) задовольняють системі рівнянь (3)

 (7)

де - ліва, а - права границі ланки; ,. Розв’яжемо систему (7) щодо невідомих .

Із першого і третього рівнянь системи знаходимо вирази для параметра :

 (8)

Прирівнюємо між собою вирази для  і отримаємо вираз для :

 (9)

Підставляємо перший вираз для  і вираз для в друге рівняння системи (7) і отримаємо

 (10)

Підставляємо другий вираз для  і вираз для в четверте рівняння системи (7) і отримаємо

 (11)

Ми отримали систему двох лінійних рівнянь (10) і (11) щодо двох невідомих . Розв’язавши її, отримаємо

 (12)

Із формул (8), (9), (10) для параметрів випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (7) є виконання умови.

При отримаємо ермітовий сплайн з непарною кількістю параметрів . Ланка такого сплайна має вигляд

 (13)

Згідно з означенням 2 параметри ланки (13) ермітового сплайна (2) задовольняють системі рівнянь (5):

 (14)

де . Розв’яжемо систему (14) щодо невідомих . Із першого, третього і четвертого рівнянь системи (14) знайдемо вирази для

. (15)

Прирівняємо вирази для (15) із першого і четвертого та першого і третього рівнянь системи (14), отримаємо два вирази для

 , (16)

 . (17)

Прирівнявши між собою вирази для  із (16) і (17), отримаємо рівняння

 (18)

Де

Підставивши перший вираз для (15) і перший вираз для (16) в друге рівняння системи (14) отримаємо рівняння

 (19)

Де

Підставивши третій вираз для (15) і перший вираз для (16) в п’яте рівняння системи (14) отримаємо рівняння

 (20)

де

Ми отримали систему трьох лінійних рівнянь (18-20) щодо трьох невідомих . Розв’язавши її отримаємо

 (21)

Із формул (15), (16), (17) і (21) для параметрів  випливає, що необхідною умовою існування наближення ермітовим сплайном з ланкою (13) є виконання умови .