Характеристические функции

2.  Характеристические функции

Характеристические функции являются одним из способов описания случайных величин, удобным при решении многих задач теории вероятностей.

Пусть имеется вещественная случайная величина Х. Введем комплексную случайную величину W по следующему закону:

где .

Характеристической функцией g(t) случайной величины Х называется математическое ожидание случайной величины W, т.е.

Зная закон распределения случайной величины Х, всегда можно найти ее характеристическую функцию g(t).

Для дискретной случайной величины Х с законом распределения

Таблица 1

Х	х1	х2	...	хn
Р	p1	p2	...	pn

характеристическая функция

Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения вероятностей f(x) характеристическая функция

является преобразованием Фурье плотности распределения f(x). С помощью обратного преобразования Фурье можно найти плотность распределения

Для того, чтобы эти формулы можно было применять требуется, чтобы

В качестве примера найдем характеристическую функцию нормированной гауссовсокой случайной величины. Случайная величина Х называется нормированной, если ее числовые характеристики m_x=0 и D_x=1. Плотность распределения вероятности нормированной гауссовской случайной величины имеет вид:

По определению имеем

 (2)

После преобразования

и замены в интеграле

z = x – jt

соотношение (2) принимает вид

но так как

то

Таким образом, характеристическая функция с точностью до постоянного множителя совпадает с плотностью распределения.

2.1Свойства характеристической функции

 

1. Характеристическая функция g(t) вещественна тогда и только тогда, когда f(x) – четная функция. Причем g(t) также четна. Это следует из свойств преобразования Фурье.

2.  Если случайные величины Х и Y связаны соотношением

Y = aX,

где а – постоянный множитель, то

g_y(t) = g_x(at).

Доказательство.

3.  Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению характеристических функций.

Доказательство. Пусть Х₁, Х₂, ... , Х_n- независимые случайные величины с характеристическими функциями g_x1(t), g_x2(t), ... , g_xn(t).

Найдем характеристическую функцию

Имеем:

Так как случайные величины  независимы, то независимы и случайные величины , поэтому

Используя аппарат характеристических функций можно показать, что случайные величины Z = X + Y (Z – носит название композиции), где X, Y независимые случайные величины имеющие биноминальное распределение или распределение Пуассона, или нормальное распределение также подчиняются соответственно биноминальному распределению, закону Пуассона, нормальному закону.

3.  Центральная предельная теорема

Теорема. Если случайные величины Х₁, Х₂, ... , Х_nвзаимно независимы и имеют один итот жезакон распределения f(x) и

то при неограниченном увеличении n закон распределения суммы  неограниченно приближается к нормальному.

Она может быть сформулирована в более общем случае. Закон распределения вероятностей суммы независимых случайных величин одинакового порядка при неограниченном увеличении слагаемых вне зависимости законов распределения слагаемых стремится к нормальному закону с плотностью вероятностей

 

где

Доказательство использует аппарат характеристических функций, представляя  и разлагая функцию g_x(t) в ряд Макларена. Далее, делая нормировку случайной величины Y_n, т.е. замену  показывается, что

Пример. Складываются 24 независимых случайных величины, каждая из которых подчинена равномерному закону на интервале (0, 1).

 Написать приближенное выражение для плотности суммы этих случайных величин. Найти вероятность того, что сумма будет заключена в пределах от 6 до 8.

Решение. Пусть  где Х_i – равномерно распределенные случайные величины. Случайная величина Y удовлетворяет центральной предельной теореме, поэтому ее плотность распределения

Так как Х_i – равномерно распределены на интервале (0, 1), то

Следовательно,

Подставим полученные значения в формулу плотности вероятности случайной величины Y:

Значит